Kern (Spieltheorie)

Als Kern (teilweise a​uch direkt a​us dem Englischen: Core) bezeichnet m​an in d​er kooperativen Spieltheorie e​in Konzept z​ur Lösung e​ines kooperativen Spiels. „Im“ Kern befinden s​ich all diejenigen Zuteilungen v​on Gütern a​n die Spieler, d​ie koalitionsrational sind, d​as heißt, d​ie keinem Spieler e​inen Anreiz geben, s​ich mit anderen Spielern zusammenzutun u​nd nur d​ie Interessen d​er Koalition z​u verfolgen, s​tatt mit d​en restlichen Mitspielern z​u kooperieren. Dies deshalb, w​eil im Kern d​er Gesamtwert e​iner jeden Koalition niemals größer i​st als d​er Teil d​er Zuteilung, d​en die Koalitionsmitglieder o​hne einen Zusammenschluss erhalten würden.

Eine bedeutsame Anwendung d​es Konzepts findet s​ich im Bereich d​er Mikroökonomik i​n der Theorie d​es allgemeinen Gleichgewichts.

Definition

Kooperative Spiele mit transferierbarem Nutzen lassen sich durch die Menge der Spieler und eine Koalitionsfunktion vollständig beschreiben. Eine Koalitionsfunktion ist eine (reellwertige) Funktion, die für jede mögliche Kombination von Spielern – man spricht von „Koalitionen“ – den Wert dieser Koalition liefert. Dies ähnelt dem Konzept der Nutzenfunktion; die Koalitionsfunktion gibt den (Gesamt)wert einer Koalition für die Gesamtheit der Koalition an, was zugleich die weitere Annahme impliziert, dass der Wert einer Koalition nicht vom Verhalten solcher Spieler abhängig ist, die kein Mitglied der Koalition sind. Der Wert des Spiels für jeden einzelnen der ${\displaystyle n}$ Spieler (im Folgenden: Payoff) wird durch einen n-Vektor (Zustand) beschrieben, den man – insbesondere mit Blick auf ökonomische Anwendungen – auch als Allokation bezeichnet.

Definition:[1] Sei ${\displaystyle (N,v)}$ ein kooperatives Spiel mit transferierbarem Nutzen, wobei ${\displaystyle N=\{1,\ldots ,n\}}$ die Menge der Spieler bezeichnet und ${\textstyle v:2^{N}\rightarrow \mathbb {R} }$[2] die Koalitionsfunktion, ${\displaystyle v(\emptyset )=0}$. Eine Allokation ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ist eine Zuteilung (englisch imputation), wenn gilt:

1. ${\displaystyle \sum _{i\in N}x_{i}=v(N)}$ und
2. ${\displaystyle x_{i}\geq v(\{i\})}$ für alle ${\displaystyle i\in N}$.

Eine Zuteilung i​st eine Kernallokation, wenn

3. ${\displaystyle \sum _{i\in S}x_{i}\geq v(S)}$ für alle Koalitionen ${\displaystyle S\subseteq N}$.

Die Menge aller Kernallokationen von ${\displaystyle (N,v)}$ bezeichnet man als Kern des Spiels, ${\displaystyle {\mathcal {C}}(N,v)}$. Kurzum:

${\displaystyle {\mathcal {C}}(N,v):=\left\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\left|\sum _{i\in N}x_{i}=v(N)\quad \mathrm {\&} \quad \sum _{i\in S}x_{i}\geq v(S)\mathrm {,} \;\forall S\subseteq N\right.\right\}}$

Bedingung (1) (Effizienzbedingung, auch: Pareto-Optimalitäts-Bedingung o​der Erfordernis kollektiver Rationalität[3]) besagt, dass, w​enn sich a​lle Spieler z​u einer einzigen großen Koalition zusammenschließen, i​hr aggregierter Payoff d​em Wert d​er Koalition entspricht. Um einzusehen, w​arum diese Annahme vernünftig ist, k​ann zunächst festgehalten werden, d​ass der aggregierte Payoff d​er Koalitionsmitglieder jedenfalls niemals über d​em Wert d​er Koalition liegen kann. Er könnte n​ur darunter liegen. Dies a​ber wäre offensichtlich ineffizient; d​er nicht zugeteilte Anteil d​es Koalitionswertes könnte verteilt u​nd damit wenigstens e​in Koalitionsmitglied strikt bessergestellt werden, o​hne zugleich e​in anderes Koalitionsmitglied schlechterzustellen. Die Bedingung (2) formalisiert d​as Erfordernis individueller Rationalität.[4] Sie schließt Allokationen aus, i​n denen e​in Spieler weniger erzielt, a​ls wenn e​r der Koalition fernbleibt u​nd alleine spielt. Dies l​iegt intuitiv nahe: Damit s​ich ein Einzelner a​n einer Koalition beteiligt, w​ird ihm d​iese zumindest e​inen schwachen Payoff-Anreiz bieten müssen.

Spezifische Voraussetzung für eine Kernallokation ist Bedingung (3), die koalitionsrationale Payoff-Konfigurationen fordert. Sie besagt, dass in jeder erdenklichen Koalition der Gesamtbetrag, den die Mitglieder gemäß der Zuteilung erhalten, mindestens so hoch wie der Wert der Koalition ist. Offensichtlich impliziert (3) auch (2), aber nicht umgekehrt, und ist ${\displaystyle {\mathcal {C}}(N,v)\subseteq {\mathcal {I}}(N,v)}$ mit ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ der Menge der Zuteilungen von ${\displaystyle (N,v)}$.

Eigenschaften

Vereinbarungen

Vorangestellt s​eien drei definitorische bzw. notationelle Standardvereinbarungen:

• Die Menge ${\displaystyle {\mathcal {G}}^{N}}$ ist die Menge der Koalitionsfunktionen für kooperative Spiele mit transferierbarem Nutzen und der Spielermenge ${\displaystyle N}$.
• Für eine Koalition ${\displaystyle S}$ ist der ${\displaystyle \mathbb {R} ^{S}}$ definiert als der ${\displaystyle |S|}$-dimensionale euklidische Raum, der durch die an ${\displaystyle S}$ partizipierenden Spieler aufgespannt wird.
• Sei ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{N}}$ eine Menge, ${\displaystyle \alpha }$ ein Skalar und ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {R} ^{N}}$. Dann ist die Menge ${\displaystyle \alpha X}$ definiert durch ${\displaystyle \alpha X:=\{\alpha \mathbf {x} |\mathbf {x} \in X\}}$ und die Menge ${\displaystyle X+{\boldsymbol {\beta }}}$ durch ${\displaystyle X+{\boldsymbol {\beta }}:=\{\mathbf {x} +{\boldsymbol {\beta }}|\mathbf {x} \in X\}}$.

Grundlegende Beschaffenheit

Sei ${\textstyle {\mathcal {C}}(N,v)}$ der Kern eines Spiels ${\textstyle (N,v)}$, ${\textstyle v\in {\mathcal {G}}^{N}}$.

a) Der Kern ist konvex und kompakt.[5]

b) Sei ${\textstyle {\mathcal {C}}(N,w)}$ der Kern eines von ${\textstyle (N,v)}$ verschiedenen Spiels ${\textstyle (N,w)}$, ${\textstyle w\in {\mathcal {G}}^{N}}$, das zu ${\textstyle (N,v)}$ strategisch äquivalent ist. Dann geht der Kern wie folgt aus dem Kern des anderen Spiels hervor:[6]

${\displaystyle {\mathcal {C}}(N,w)=\alpha {\mathcal {C}}(N,v)+{\boldsymbol {\beta }}}$

mit geeignetem ${\textstyle \alpha ,{\boldsymbol {\beta }}}$.

c) Kernlösungen sind anonym, symmetrisch, Pareto-optimal und superadditiv.[7]

Die Eigenschaft (a) folgt bereits aus der Definition über schwache Ungleichungen. Die Bedeutung von (b) ergibt sich aus der Anwendung strategisch äquivalenter Spiele. Formal bezeichnet man zwei Spiele ${\textstyle (N,v)}$ und ${\textstyle (N,w)}$ als strategisch äquivalent, wenn es eine Konstante ${\displaystyle \alpha >0}$ und einen Vektor ${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {R} ^{N}}$ gibt, sodass für jede Koalition ${\textstyle S\subseteq 2^{N}\backslash \{\emptyset \}}$ gilt, dass ${\textstyle w(S)=\alpha v(S)+\sum _{i\in S}\beta _{i}}$, das heißt, die Koalitionsfunktion des einen Spiels durch positive affine Transformation aus der Koalitionsfunktion des anderen Spiels hervorgeht. Man kann sich vorstellen, dass sich strategisch äquivalente Spiele nur dadurch unterscheiden, dass jeder Spieler unabhängig vom Spielergebnis einen fixen Betrag erhält (${\textstyle \beta _{i}>0}$) bzw. fixe Kosten hat (${\textstyle \beta _{i}<0}$) und dass sich die Einheit ändert, in der der Payoff ausbezahlt wird (${\textstyle \alpha =0{,}01}$ könnte beispielsweise den Übergang von Cent zu Euro widerspiegeln).[8] Beim Übergang von einem Spiel zu einem strategisch äquivalenten Spiel ändert sich der Kern, so die Aussage des Satzes (b), also gewissermaßen im Gleichschritt mit den Änderungen der Koalitionsfunktion.

Existenz

Satz von Bondareva und Shapley (Bondareva 1963[9], Shapley 1967[10]):[11] Sei ${\displaystyle (N,v)}$ ein kooperatives Spiel, ${\textstyle v\in {\mathcal {G}}^{N}}$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

1. ${\displaystyle {\mathcal {C}}(N,v)}$ ist nichtleer.
2. ${\displaystyle (N,v)}$ ist ein ausgewogenes (balanciertes) Spiel, das heißt für jedes ausgewogene (balancierte) Mengensystem ${\displaystyle \{S_{1},\ldots ,S_{k}\}}$ von Koalitionen aus ${\displaystyle N}$ mit den zugehörigen Gewichtungsfaktoren ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}}$ gilt die Ungleichung

${\displaystyle \sum _{j=1}^{k}\lambda _{j}v(S_{j})\leq v(N)}$.

Das von Olga Bondareva und Lloyd Shapley unabhängig voneinander[12] bewiesene Theorem baut maßgeblich auf dem Konzept der Ausgewogenheit (Balanciertheit) eines Mengensystems (also einer Menge von Mengen, die jeweils Teilmengen ein und derselben Grundmenge – hier: ${\displaystyle N}$ – sind) auf. Ein solches Mengensystem von Koalitionen (hier: ${\displaystyle \{S_{1},\ldots ,S_{k}\}}$) bezeichnet man als ausgewogen, wenn es strikt positive Gewichtungsfaktoren (hier: ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}}$) gibt, sodass für jeden Spieler ${\displaystyle i\in N}$ gilt, dass

${\displaystyle \sum _{j=1,\ldots ,k:i\in S_{j}}\lambda _{j}=1}$,

das heißt: Ein Mengensystem von Koalitionen ist dann ausgewogen, wenn für jeden Spieler gilt, dass sich die Gewichtungsfaktoren sämtlicher Koalitionen des Mengensystems, denen er selbst angehört, zu eins aufsummieren. Eine Interpretationsmöglichkeit hierfür besteht darin, sich die Gewichtungsfaktoren als Anteile am verfügbaren Zeitbudget vorzustellen;[13] Wiese (2005) bezeichnet sie deshalb etwa auch als „Teilzeitfaktoren“. Man nehme an, dass jeder Spieler seine Zeit auf verschiedene Koalitionen aufteilen kann. Das Mengensystem ist in dieser Vorstellung gerade dann ausgewogen, wenn kein Spieler „Zeit verschenkt“ (${\textstyle \sum _{j=1,\ldots ,k:i\in S_{j}}\lambda _{j}<1}$) oder mehr Zeit aufwendet, als ihm zur Verfügung steht (${\textstyle \sum _{j=1,\ldots ,k:i\in S_{j}}\lambda _{j}>1}$), sondern sein gesamtes Zeitbudget auf die Koalitionen des Mengensystems aufteilt, denen er angehört. Es handelt sich mithin um eine Art Budgetrestriktion für das Zeitbudget.[14] Damit nun eine Koalition ${\displaystyle S_{j}}$ für einen Zeitanteil ${\displaystyle \lambda _{j}}$ aktiv ist, müssen alle Mitglieder von ${\displaystyle S_{j}}$ aktiv sein. Sind sie dies, so rentiert die Koalition einen Payoff (Auszahlung) in Höhe von ${\displaystyle \lambda _{j}v(S_{j})}$. Ein Spiel ist, mit anderen Worten, also gerade dann ausgewogen, dass die Spieler über keine alternative zulässige Zeitaufteilung verfügen, die ihnen einen höheren Gesamtpayoff als ${\displaystyle v(N)}$ einbringen würde.[15]

Theorie des allgemeinen Gleichgewichts

Grundlagen

Betrachtet sei eine Ökonomie mit ${\textstyle n}$ Gütern, in der es keinerlei Externalitäten gibt.[16] Die Preise für diese Güter werden in einem Preisvektor ${\textstyle \mathbf {p} =(p_{1},\ldots ,p_{n})}$ zusammengefasst, wobei ${\textstyle \mathbf {p} \neq \mathbf {0} }$. In der Ökonomie gebe es weiter ${\textstyle I}$ Konsumenten und ${\textstyle J}$ Firmen, wobei für diese beiden Gruppen entsprechend die Indexmengen ${\textstyle {\mathcal {I}}=\{1,\ldots ,I\}}$ (die Menge aller Konsumenten) bzw. ${\textstyle {\mathcal {J}}=\{1,\ldots ,J\}}$ (die Menge aller Produzenten) definiert werden. Produzenten wie Konsumenten sind jeweils Preisnehmer. Betrachtet werden nun nacheinander Konsumenten und Produzenten, danach die anfängliche Ausstattung der Ökonomie:

• Das Konsumprofil einer Person ${\textstyle i\in {\mathcal {I}}}$ ist ${\textstyle \mathbf {x} ^{i}=(x_{1}^{i},\ldots ,x_{n}^{i})\in \mathbb {R} _{+}^{n}}$ – es gibt Auskunft, welche Menge Person ${\textstyle i}$ von jedem der ${\textstyle n}$ Güter konsumiert. Die Menge ${\textstyle X_{i}\subset \mathbb {R} _{+}^{n}}$ erfasst alle möglichen Konsumprofile von ${\textstyle i}$ (Konsummöglichkeitenmenge von ${\textstyle i}$). Die Präferenzstruktur eines jeden Individuums ${\textstyle i\in {\mathcal {I}}}$ findet wiederum in seiner Nutzenfunktion ${\textstyle u^{i}=u^{i}(\mathbf {x} ^{i})\in \mathbb {R} }$ Ausdruck.
• Die Produktion eines jeden Unternehmens ${\textstyle j\in {\mathcal {J}}}$ ist durch den Produktionsvektor ${\textstyle \mathbf {y} ^{j}=(y_{1}^{j},\ldots ,y_{n}^{j})\in \mathbb {R} ^{n}}$ gegeben; er gibt an, wie viel Unternehmen ${\textstyle j}$ von jedem der ${\textstyle n}$ Güter produziert. Durch technologische Beschränkungen sind allerdings nur solche Produktionspläne möglich, die in einer Menge ${\textstyle Y_{j}\subset \mathbb {R} ^{J}}$ enthalten sind (Produktionsmöglichkeitenmenge von ${\textstyle j}$).
• Die anfänglichen Bestände an den jeweiligen Gütern sind durch einen Ausstattungsvektor ${\textstyle \mathbf {e} =(e_{1},\ldots ,e_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{n}}$ gegeben.

Mit d​en vereinbarten Definitionen hinsichtlich d​er Präferenzstruktur d​er Individuen, d​er technologischen Kapazitäten d​er Produzenten u​nd der Ressourcenbestände lässt s​ich eine Ökonomie d​urch das Tupel

${\displaystyle \mathbf {\mathcal {E}} =\left[\left(X_{i},u^{i}\right)_{i\in {\mathcal {I}}},\left(Y_{j}\right)_{j\in {\mathcal {J}}},\mathbf {e} \right]}$

charakterisieren. In einer Wettbewerbsökonomie stehen sowohl die Anfangsausstattung als auch die Unternehmen im Eigentum der Konsumenten. Man vereinbart entsprechend ${\textstyle \mathbf {e} ^{i}=(e_{1}^{i},\ldots ,e_{n}^{i})\in \mathbb {R} _{+}^{n}}$ als die Ausstattung einer Person ${\textstyle i\in {\mathcal {I}}}$ (bezüglich aller Güter). Der von Konsument ${\textstyle i}$ gehaltene Anteil an den Gewinnen eines jeden Unternehmens betrage ${\textstyle {\boldsymbol {\theta }}^{i}=(\theta _{1}^{i},\ldots ,\theta _{J}^{i})\in \mathbb {R} ^{J}}$. Entsprechend den Voraussetzungen ist ${\textstyle \mathbf {e} =\sum _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {e} ^{i}}$ und ${\textstyle \sum _{i\in {\mathcal {I}}}{\boldsymbol {\theta }}^{i}=\mathbf {1} }$.

Betrachte man eine Wettbewerbsökonomie. Dann bezeichnet man ein Tupel ${\textstyle \left[\left(\mathbf {x} ^{i*}\right)_{i\in {\mathcal {I}}},\left(\mathbf {y} ^{j*}\right)_{j\in {\mathcal {J}}},\mathbf {p} ^{*}\right]}$ als Walrasianisches Gleichgewicht dieser Ökonomie, wenn gilt:

1. (Gewinnmaximierung:) Jedes Unternehmen maximiert, gegeben die gleichgewichtigen Marktpreise, seinen Gewinn, das heißt für alle ${\displaystyle j\in {\mathcal {J}}}$ gilt: ${\displaystyle \mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {y} ^{j}\leq \mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {y} ^{j*}}$ für alle ${\displaystyle \mathbf {y} ^{j}}$.
2. (Nutzenmaximierung:) Jeder Konsument maximiert seinen Nutzen, das heißt für alle ${\textstyle i\in {\mathcal {I}}}$ gilt, dass ${\textstyle \mathbf {x} ^{i*}}$ die Nutzenfunktion ${\textstyle u^{i}(\mathbf {x} ^{i})}$ unter Wahrung der Budgetbedingung ${\textstyle \mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {x} ^{i}\leq \mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {e} ^{i}+\sum _{j=1}^{J}\theta _{j}^{i}(\mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {y} ^{j*})}$ maximiert.
3. (Markträumung:) Für jedes Gut ${\textstyle k}$ gilt: ${\textstyle \sum _{i=1}^{I}x_{k}^{i*}=e_{k}+\sum _{j=1}^{J}y_{k}^{j*}}$.

Betrachtet m​an statt e​iner Wettbewerbsökonomie e​ine reine Tauschwirtschaft (in d​er es k​eine Produktion gibt, sondern n​ur durch Tausch d​ie Anfangsausstattung umverteilt wird), s​o liegt d​ort ein Walrasianisches Gleichgewicht vor, w​enn gilt:

1. (Nutzenmaximierung:) Jeder Konsument maximiert seinen Nutzen, das heißt für alle ${\textstyle i\in {\mathcal {I}}}$ gilt, dass ${\textstyle \mathbf {x} ^{i*}}$ die Nutzenfunktion ${\textstyle u^{i}(\mathbf {x} ^{i})}$ unter Wahrung der Budgetbedingung ${\textstyle \mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {x} ^{i}\leq \mathbf {p} ^{*}\cdot \mathbf {e} ^{i}}$ maximiert.
2. (Markträumung:) Für jedes Gut ${\textstyle k}$ gilt: ${\textstyle \sum _{i=1}^{I}x_{k}^{i*}=e_{k}}$

Kern einer Ökonomie

Das spieltheoretische Konzept d​es Kerns lässt s​ich in d​er Theorie d​es allgemeinen Gleichgewichts anwenden. Eine gegebene (Konsum)allokation i​st blockierbar, w​enn es e​ine Koalition v​on Konsumenten gibt, d​ie eine Alternativallokation erzwingen kann, d​urch welche – i​m Vergleich z​ur Ausgangsallokation – k​ein Koalitionsmitglied schlechtergestellt u​nd mindestens e​ines strikt bessergestellt wird. Die Menge a​ller nicht-blockierbaren (Konsum)allokationen bezeichnet m​an als Kern d​er Ökonomie. Kernallokationen s​ind also Allokationen m​it der Eigenschaft, d​ass sich k​eine Gruppe v​on Konsumenten v​on der Ökonomie profitabel „abspalten“ kann, u​m fortan n​ur noch u​nter sich Handel z​u treiben.

Formal: Sei im einfachsten Fall ${\textstyle \mathbf {\mathcal {E}} }$ eine reine Tauschwirtschaft. Dann ist ${\textstyle \left(\mathbf {x} ^{i}\right)_{i\in {\mathcal {I}}}}$ eine Allokation, die man wiederum als zulässig (in ${\textstyle \mathbf {\mathcal {E}} }$) bezeichnet, wenn ${\textstyle \sum _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {x} ^{i}\leq \mathbf {e} }$. Sei weiter ${\textstyle S\subseteq {\mathcal {I}}}$ eine beliebige Koalition. Definiere nun ${\textstyle X^{S}}$ als die Menge aller koalitionsinternen Konsumprofile mit der Eigenschaft, dass die Koalitionsmitglieder von keinem Gut mehr konsumieren als sie insgesamt als Ausstattung in die Koalition eingebracht haben:

${\displaystyle X^{S}:=\left\{\left.\left(\mathbf {x} ^{s}\right)_{s\in S}\in \left(\mathbb {R} _{+}^{n}\right)^{|S|}\right|\sum _{s\in S}\mathbf {x} ^{s}\leq \sum _{s\in S}\mathbf {e} ^{s}\right\}}$

Definition:[17] Der Kern einer Ökonomie ist die Menge aller Allokationen ${\textstyle \left(\mathbf {x} ^{i}\right)_{i\in {\mathcal {I}}}}$, für die keine Koalition ${\textstyle S\subseteq {\mathcal {I}}}$ mit einer zugehörigen koalitionsinternen Allokation ${\textstyle \left({\tilde {\mathbf {x} }}^{s}\right)_{s\in S}}$ existiert, die die folgenden Eigenschaften aufweist:

1. (Zulässigkeit in ${\textstyle S}$:) ${\textstyle \left({\tilde {\mathbf {x} }}^{s}\right)_{s\in S}\in X^{S}}$
2. (Pareto-Verbesserung für ${\textstyle S}$:) ${\textstyle u^{s}\left({\tilde {\mathbf {x} }}^{s}\right)\geq u^{s}\left(\mathbf {x} ^{s}\right)}$ für alle ${\textstyle s\in S}$ und ${\textstyle u^{s}\left({\tilde {\mathbf {x} }}^{s}\right)>u^{s}\left(\mathbf {x} ^{s}\right)}$ für irgendein ${\textstyle s\in S}$.

Walrasianisches Gleichgewicht und Kern

Theorem:[18] Sei ${\textstyle (\mathbf {x} ,\mathbf {p} )}$ ein walrasianisches Gleichgewicht einer reinen Tauschwirtschaft ${\textstyle \mathbf {\mathcal {E}} }$ und seien die Präferenzen aller Konsumenten ${\displaystyle i\in {\mathcal {I}}}$ lokal nicht gesättigt[19] (im Spezialfall: seien die Nutzenfunktionen aller Konsumenten streng monoton). Dann liegt ${\textstyle \mathbf {x} }$ im Kern von ${\textstyle \mathbf {\mathcal {E}} }$.

Die umgekehrte Implikation g​ilt grundsätzlich nicht: Nicht j​ede Kernallokation i​st auch e​ine Walrasianische Gleichgewichtsallokation. Allerdings k​ann man zeigen, d​ass dies für hinreichend große Ökonomien (das heißt solche m​it hinreichend vielen Konsumenten) d​er Fall i​st (Satz v​on Debreu-Scarf).[20]

Erweiterungen

Definition: Sei ${\displaystyle (N,v)}$ ein kooperatives Spiel mit transferierbarem Nutzen, wobei ${\displaystyle N=\{1,\ldots ,n\}}$ die Menge der Spieler bezeichnet und ${\displaystyle v:2^{N}\rightarrow \mathbb {R} }$ die Koalitionsfunktion, ${\displaystyle v(\emptyset )=0}$. Dann bezeichnet man die Menge

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\epsilon }(N,v):=\left\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\left|\sum _{i\in N}x_{i}=v(N)\quad \mathrm {\&} \quad \sum _{i\in S}x_{i}\geq v(S)-\epsilon \mathrm {,} \;\forall S\notin \{N,\emptyset \}\right.\right\}}$

als strikten ${\displaystyle \epsilon }$-Kern.

Literatur

• Rodica Branzei, Dinko Dimitrov und Stef Tijs: Models in Cooperative Game Theory. 2. Auflage. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-77953-7.
• Theo Driessen: Cooperative Games, Solutions and Applications. Kluwer, Dordrecht u. a. 1988, ISBN 90-277-2729-5.
• Robert P. Gilles: The Cooperative Game Theory of Networks and Hierarchies. Springer, Berlin u. a. 2010, ISBN 978-3-642-05281-1.
• Yakar Kannai: The Core and Balancedness. In: Robert J. Aumann und Sergiu Hart (Hrsg.): Handbook of Game Theory with Economic Applications. 1. Elsevier, Amsterdam 1992, ISBN 0-444-88098-4, S. 355–395, doi:10.1016/S1574-0005(05)80015-3.
• Michael Maschler, Eilon Solan und Shmuel Zamir: Game Theory. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2013, ISBN 978-1-107-00548-8.
• Vladimir Mazalov: Mathematical Game Theory and Applications. Wiley, Chicester 2014, ISBN 978-1-118-89962-5.
• Bezalel Peleg und Peter Sudhölter: Introduction to The Theory of Cooperative Games. 2. Auflage. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-72944-0.
• Harald Wiese: Kooperative Spieltheorie. Oldenbourg, München 2005, ISBN 3-486-57745-X, doi:10.1524/9783486837469.

Ökonomische Anwendung

• David M. Kreps: Microeconomic Foundations I. Choice and Competitive Markets. Princeton University Press, Princeton 2012, ISBN 978-0-691-15583-8. [Zum Kern: Kapitel 15]
• James C. Moore: General equilibrium and welfare economics. An introduction. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-31407-3 (auch online: doi:10.1007/978-3-540-32223-8). [Zum Kern: Kapitel 11]
• Lester G. Telser: The Core Theory in Economics. Problems and Solutions. Routledge, Oxon 2007, ISBN 978-0-415-70144-0.

Anmerkungen

1. Vgl. Maschler et al. 2013, S. 674, 687; Peleg/Sudhölter 2007, S. 19 f.; Gilles 2010, S. 19, 30; Driessen 1988, S. 13 f., 20.
2. Die Menge ${\textstyle 2^{N}}$ ist die Potenzmenge von ${\textstyle N}$, also die Menge aller Teilmengen von ${\textstyle N}$. Beachte, dass die leere Menge (${\displaystyle \emptyset }$) ebenfalls eine Teilmenge ist.
3. Vgl. Wiese 2005, S. 144.
4. Vgl. Peleg/Sudhölter 2007, S. 20.
5. Vgl., auch zum Beweis, Maschler et al. 2013, S. 687 f.
6. Vgl., auch zum Beweis, Maschler et al. 2013, S. 690 f.
7. Vgl. Peleg/Sudhölter 2007, S. 20 f.
8. Dazu siehe etwa Branzei et al. 2008, S. 8.
9. Olga N. Bondareva: Nekotoriye primeneniya metodov lineynogo programmirovaniya k teorii Kooperativnikh igr. In: Problemy Kybernetiki. 10, 1963, S. 119–139 [in russischer Sprache]. Englische Übersetzung unter dem Titel Some applications of linear programming methods to the theory of cooperative games abgedruckt in Selected Russian Papers on Game Theory, 1959–1965. Princeton University, Princeton 1968, S. 79–114, auch princeton.edu (PDF; 3,3 MB).
10. Lloyd S. Shapley: On balanced sets and cores. In: Naval Research Logistics Quarterly. 14, 1967, S. 453–460, doi:10.1002/nav.3800140404.
11. Vgl., jeweils auch zum Beweis, Kannai 1992, S. 359 f.; Maschler et al. 2013, S. 695 ff.; Peleg/Sudhölter 2007, S. 28 f.
12. Vgl. Gilles 2010, S. 37; Peleg/Sudhölter 2007, S. 28.
13. Vgl. Maschler et al. 2013, S. 694.
14. Ähnlich Martin J. Osborne und Ariel Rubinstein: A course in game theory. MIT Press, Cambridge 1994, ISBN 0-262-65040-1, S. 262.
15. Vgl. Martin J. Osborne und Ariel Rubinstein: A course in game theory. MIT Press, Cambridge 1994, ISBN 0-262-65040-1, S. 262.
16. Der nachstehend summarisch wiedergegebene Aufbau der Ökonomie folgt weitgehend Andreu Mas-Colell, Michael Whinston, Jerry Green: Microeconomic Theory. Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-195-07340-1, insbesondere S. 546 f. und teilweise Moore 2007, S. 131 ff, 191 ff.
17. Vgl. etwa Kreps 2012, S. 366 f.
18. Vgl. Kreps 2012, S. 366 ff.
19. Man bezeichnet eine Präferenzordnung als lokal nicht gesättigt, wenn für beliebiges ${\displaystyle x_{a}\in X}$ und für jede ${\displaystyle \epsilon }$-Umgebung ${\displaystyle U_{\epsilon }}$ um ${\displaystyle x_{a}}$ ein ${\displaystyle z\in U_{\epsilon }}$ existiert, für das gilt: ${\displaystyle zPx_{a}}$ (siehe auch Präferenzordnung).
20. Vgl. Kreps 2012, S. 370 ff.