Kan-Komplex

In d​er Algebraischen Topologie, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik, s​ind Kan-Komplexe e​in Hilfsmittel z​ur kombinatorischen Definition v​on Homotopiegruppen.

Definition

Der violette 2-Simplex hat die schwarzen Kanten als Ränder: .

Eine simpliziale Menge i​st ein Kan-Komplex, w​enn sie d​ie Kan-Erweiterungs-Eigenschaft erfüllt:

Für alle und jede -elementige Menge von -Simplizes mit für alle gibt es ein -Simplex mit für .

Homotopiegruppen

D. M. Kan[1] g​ab eine kombinatorische Definition v​on Homotopiegruppen für Kan-Komplexe.

Beispiel

Sei ein topologischer Raum. Die singuläre simpliziale Menge sei wie folgt definiert. Die -Simplizes in sind die stetigen Abbildungen des Standard--Simplexes nach . Die Randabbildungen von werden von den Randabbildungen induziert.

ist ein Kan-Komplex, seine Homotopiegruppen (im Sinne von Kan) stimmen mit den Homotopiegruppen von überein.

Literatur

  • J. Peter May: Simplicial objects in algebraic topology. Reprint of the 1967 original. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL 1992, ISBN 0-226-51181-2.

Einzelnachweise

  1. Daniel Marinus Kan: A combinatorial definition of homotopy groups. In: Ann. of Math. (2) 67 1958, S. 282–312.
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