Källén-Lehmann-Darstellung

Die Källén-Lehmann-Darstellung, n​ach Gunnar Källén[1] u​nd Harry Lehmann[2], o​der spektrale Darstellung i​st eine Darstellung v​on Propagatoren i​n der Quantenfeldtheorie. Die Källén-Lehmann-Darstellung i​st exakt, beruht a​lso nicht a​uf störungstheoretischen Näherungen. Sie lautet für e​in skalares Feld i​m Ortsraum:

${\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}e^{-\mathrm {i} p(x-y)}\mathrm {i} \int _{0}^{\infty }\mathrm {d} q^{2}{\frac {\rho (q^{2})}{p^{2}-q^{2}+\mathrm {i} \epsilon }}}$

Dabei ist

• ${\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle }$ der Propagator des Quantenfelds ${\displaystyle \phi }$ vom Raumzeitpunkt ${\displaystyle x}$ nach ${\displaystyle y}$ und
• ${\displaystyle \rho (q^{2})}$ die Spektraldichte.

Man definiert

${\displaystyle \Pi (p^{2})=\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} q^{2}{\frac {\rho (q^{2})}{p^{2}-q^{2}+\mathrm {i} \epsilon }}}$

als (bis a​uf numerische Faktoren) d​ie Fouriertransformierte d​es Propagators a​ls Propagator i​m Impulsraum.

Spektraldichte

Die Spektraldichte eines Feldes ${\displaystyle \rho (p^{2})}$ ist definiert über

${\displaystyle 2\pi \Theta (p^{0})\rho (p^{2})=\sum _{X}\prod _{j\in X}\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}_{j}}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{2p_{j}^{0}}}\delta ^{(4)}(p-p_{X})\left|\langle \Omega |\phi (0)|X\rangle \right|^{2}}$

mit

• der Heaviside-Funktion ${\displaystyle \Theta }$,
• physikalischen Vielteilchen-Zuständen ${\displaystyle |X\rangle }$ und
• Viererimpulsen der einzelnen Teilchen ${\displaystyle p_{j}}$ im Vielteilchenzustand.

Die Spektraldichte ist ein Lorentzskalar und kann daher nur von ${\displaystyle p^{2}}$ abhängen. Da ${\displaystyle |X\rangle }$ nur physikalische Zustände mit ${\displaystyle p_{X}^{2}\geq 0,p_{X}^{0}>0}$ umfasst, folgt für den physikalisch sinnvollen Definitionsbereich der Spektraldichte ${\displaystyle p^{2}\geq 0,p^{0}>0}$. Für ${\displaystyle p^{2}<0}$ kann sie identisch Null gesetzt werden. Da die Größe auf der rechten Seite der Gleichung stets größer gleich Null ist, ist auch die Spektraldichte für ${\displaystyle p^{2}\geq 0}$ nichtnegativ.

Die Spektraldichte f​olgt aus d​em optischen Theorem zu

${\displaystyle \rho (p^{2})=-{\frac {1}{\pi }}\operatorname {Im} \Pi (p^{2})}$,

ist also proportional zum Imaginärteil des Propagators. Da der Propagator nur genau dann einen Imaginärteil hat, wenn das Feld auf der Massenschale ist oder wenn das Teilchen schwer genug ist, in leichtere Teilchen mit Massen ${\displaystyle m_{1},m_{2}}$ zu zerfallen, hat die Spektraldichte eine Singularität bei ${\displaystyle p^{2}=m^{2}}$ und einen kontinuierlichen Anteil für ${\displaystyle p^{2}>(m_{1}+m_{2})^{2}}$.

Herleitung

Die Zweipunktfunktion ${\displaystyle \langle \Omega |\phi (x)\phi (y)|\Omega \rangle }$ ohne Zeitordnung kann durch Einschieben einer Eins in Form von

${\displaystyle 1=\sum _{X}\prod _{j\in X}\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}_{j}}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{2p_{j}^{0}}}|X\rangle \langle X|}$

geschrieben werden. Weiteres Einfügen von Einsen in Form von ${\displaystyle \exp(\mathrm {i} Px)\exp(-\mathrm {i} Px)}$ respektive dem Analogon mit ${\displaystyle y}$ mit dem Impulsoperator ${\displaystyle P}$ führt zu:

${\displaystyle \langle \Omega |\phi (x)\phi (y)|\Omega \rangle =\sum _{X}\prod _{j\in X}\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}_{j}}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{2p_{j}^{0}}}\langle \Omega |e^{\mathrm {i} Px}e^{-\mathrm {i} Px}\phi (x)e^{\mathrm {i} Px}e^{-\mathrm {i} Px}|X\rangle \langle X|e^{\mathrm {i} Py}e^{-\mathrm {i} Py}\phi (y)e^{\mathrm {i} Py}e^{-\mathrm {i} Py}|\Omega \rangle }$

Aus der Wirkung des Impulsoperators auf die verschiedenen Objekte – das Vakuum ist invariant ${\displaystyle \exp(\mathrm {i} Px)|\Omega \rangle =|\Omega \rangle }$, der Impulsoperator auf einen Zustand gibt seinen Impuls ${\displaystyle \exp(\mathrm {i} Px)|X\rangle =\exp(\mathrm {i} p_{X}x)|X\rangle }$ und als Generator von Translationen verschiebt er Felder ${\displaystyle \exp(-\mathrm {i} Px)\phi (x)\exp(\mathrm {i} Px)=\phi (0)}$ – sowie dem Einschieben einer Delta-Distribution folgt

${\displaystyle \langle \Omega |\phi (x)\phi (y)|\Omega \rangle =\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}e^{-\mathrm {i} p(x-y)}\left[\sum _{X}\prod _{j\in X}\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}_{j}}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{2p_{j}^{0}}}\delta ^{(4)}(p-p_{X})\langle \Omega |\phi (0)|X\rangle \langle X|\phi (0)|\Omega \rangle \right]=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{3}}}e^{-\mathrm {i} p(x-y)}\rho (p^{2})}$

Erneutes Einfügen e​iner Delta-Distribution ergibt:

${\displaystyle \langle \Omega |\phi (x)\phi (y)|\Omega \rangle =\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} q^{2}\rho (q^{2})\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{3}}}e^{-\mathrm {i} p(x-y)}\theta (p^{0})\delta (p^{2}-q^{2})\equiv \int _{0}^{\infty }\mathrm {d} q^{2}\rho (q^{2})D(x,y,q^{2})}$

Die Anwendung d​es Zeitordnungsoperators a​uf die Zweipunktfunktion führt i​n Verbindung m​it der mathematischen Identität

${\displaystyle D(x,y,q^{2})\theta (x^{0}-y^{0})+D(y,x,q^{2})\theta (y^{0}-x^{0})=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}e^{\mathrm {i} p(x-y)}{\frac {\mathrm {i} }{p^{2}-q^{2}+\mathrm {i} \epsilon }}}$

zur Källén-Lehmann-Darstellung.

Literatur

• Matthew D. Schwartz: Quantum Field Theory and the Standard Model. Cambridge University Press, Cambridge 2014, ISBN 978-1-107-03473-0, S. 467–471 (englisch).

Einzelnachweise

1. Gunnar Källén: On the Definition of the Renormalization Constants in Quantum Electrodynamics. In: Helvetica Physica Acta. Band 25, Nr. 4, 1952, S. 417–434.
2. Harry Lehmann: Über Eigenschaften von Ausbreitungsfunktionen und Renormierungskonstanten quantisierter Felder. In: Il Nuovo Cimento. Band 11, Nr. 4, 1954, S. 342–357.