Inverse Halbgruppe

Die inverse Halbgruppe i​st ein Begriff a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Algebra. Er verallgemeinert d​en der Gruppe. Dabei werden inverse Elemente o​hne Bezugnahme a​uf ein neutrales Element definiert.

Definition

Eine inverse Halbgruppe ist eine Halbgruppe ${\displaystyle (A,\cdot )}$ mit der Eigenschaft, dass es zu jedem ${\displaystyle x\in A}$ ein eindeutig bestimmtes ${\displaystyle y\in A}$, Inverses (in Abgrenzung zu dem inversen Element bezogen auf ein neutrales Element auch relatives Inverses[1]) von ${\displaystyle x}$ genannt, gibt mit

${\displaystyle x\cdot y\cdot x=x}$ und ${\displaystyle y\cdot x\cdot y=y}$.[2]

Äquivalente Definitionen

Mit Operationssymbol

Eine Halbgruppe ${\displaystyle (A,\cdot )}$ ist eine inverse Halbgruppe, wenn idempotente Elemente kommutieren und es eine weitere Operation ${\displaystyle (-)^{*}\colon A\to A}$ gibt, sodass für alle ${\displaystyle x\in A}$ gilt

${\displaystyle x\cdot x^{*}\cdot x=x}$ und ${\displaystyle x^{*}\cdot x\cdot x^{*}=x^{*}}$.

Rein algebraisch

Eine Halbgruppe ${\displaystyle (A,\cdot )}$ ist eine inverse Halbgruppe, wenn es eine weitere Operation ${\displaystyle (-)^{*}\colon A\to A}$ gibt und folgende Gleichungen für alle ${\displaystyle x,y\in A}$ erfüllt sind:[3]

• ${\displaystyle (x^{*})^{*}=x,}$
• ${\displaystyle x\cdot x^{*}\cdot x=x,}$
• ${\displaystyle x\cdot x^{*}\cdot y\cdot y^{*}=y\cdot y^{*}\cdot x\cdot x^{*}.}$

Beispiele und Anwendungen

Jede Gruppe ist eine inverse Halbgruppe, mit ${\displaystyle x^{*}:=x^{-1}}$.

Jeder Halbverband ist eine inverse Halbgruppe, mit ${\displaystyle x^{*}:=x}$.

Die Definition einer „Meadow“[4] erhält man, indem man die Definition eines Körpers als speziellen unitären kommutativen Ring ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ modifiziert: Anstatt außerdem zu fordern, dass ${\displaystyle (R\setminus \{0\},\cdot )}$ eine Gruppe ist, wird gefordert, dass ${\displaystyle (R,\cdot )}$ eine inverse Halbgruppe ist. Die Folge ist, dass „Meadows“ rein algebraisch axiomatisiert werden können. Die „Division“, definiert als Multiplikation mit dem Inversen, wird total; es ist ${\displaystyle 1/0=0}$.

Eigenschaften

Für jedes Element ${\displaystyle x}$ einer inversen Halbgruppe ist ${\displaystyle x^{*}\cdot x}$ immer idempotent. Zudem kann jedes idempotente Element ${\displaystyle e}$ in dieser Form dargestellt werden, da ${\displaystyle e=e^{*}\cdot e}$.

Wie in Gruppen ist ${\displaystyle (x^{*})^{*}=x}$ und ${\displaystyle (x\cdot y)^{*}=y^{*}\cdot x^{*}}$.

Literatur

• Alan Paterson: Groupoids, Inverse Semigroups, and their Operator Algebras. 1999, ISBN 0-8176-4051-7.
• John Mackintosh Howie: Fundamentals of Semigroup Theory. 1995, ISBN 0-19-851194-9.

Einzelnachweise

1. A. H. Clifford: Semigroups admitting relative inverses (= Ann. of Math. Nr. 42). 1941, S. 1037–1049.
2. Alan Paterson: Groupoids, Inverse Semigroups, and their Operator Algebras. 1999, ISBN 0-8176-4051-7, S. 21.
3. Inversion semi-group. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
4. J.A. Bergstra, Y. Hirshfeld, J.V. Tucker: Meadows and the equational specification of division. 7. Januar 2009, arxiv:0901.0823.