Interquartilsabstand (Deskriptive Statistik)
Der Interquartilsabstand,[1] auch kurz Quartilsabstand genannt[2] und mit IQA[1] oder IQR (nach der englischen Bezeichnung interquartile range)[3] abgekürzt, ist ein Streuungsmaß in der deskriptiven Statistik. Sortiert man eine Stichprobe der Größe nach, so gibt der Interquartilsabstand an, wie breit das Intervall ist, in dem die mittleren 50 % der Stichprobeelemente liegen.
Definition
Gegeben sei eine Stichprobe
mit Elementen, die der Größe nach sortiert sind. Es gilt also
- .
Des Weiteren sei das untere Quartil und das obere Quartil. Diese sind definiert als
- und .
Hierbei bezeichnet die Abrundungsfunktion. Sie rundet jede Zahl auf die nächste ganze Zahl ab. Es gilt also beispielsweise und .
Der Interquartilsabstand ist dann definiert als[1]
und ist somit genau die Differenz zwischen dem oberen und dem unteren Quartil.
Beispiel
Betrachte die Stichprobe
mit Elementen. Sortiert man die Elemente der Größe nach, so erhält man
- .
Zur Bestimmung des unteren Quartils berechnet man , was nicht ganzzahlig ist. Daher ist gemäß der oben angegebenen Definition
- .
Analog folgt
- .
Damit erhält man für den Interquartilsabstand
- .
Aufbauende Begriffe
Aufbauend auf dem Interquartilsabstand wird der mittlere Quartilsabstand definiert, der mit MQA[1] oder QD (nach der englischen Bezeichnung quartile deviation)[4] abgekürzt wird. Er ist definiert als[1]
- .
Im obigen Beispiel wäre der mittlere Quartilsabstand somit
- .
Einzelnachweise
- Thomas Cleff: Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse. Eine computergestützte Einführung mit Excel, SPSS und STATA. 3., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-8349-4747-5, S. 54, doi:10.1007/978-3-8349-4748-2.
- Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. 10. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6, S. 32, doi:10.1007/978-3-658-03077-3.
- Eric W. Weisstein: Interquartile Range. In: MathWorld (englisch).
- Eric W. Weisstein: Quartile Deviation. In: MathWorld (englisch).