Herman-Ring

In d​er Mathematik s​ind Herman-Ringe (auch Arnold-Herman-Ringe) e​in Begriff a​us der Theorie komplexer dynamischer Systeme. Es handelt s​ich um ringförmige Komponenten d​er Fatou-Menge, a​uf denen d​ie Dynamik z​u einer irrationalen Drehung konjugiert ist.

Definition

Herman-Ringe der Abbildung ${\displaystyle f(z)={\frac {e^{2\pi i\tau }z^{2}(z-4)}{1-4z}}}$, wobei ${\displaystyle \tau =0,6151732\ldots }$ so gewählt wurde, dass die Rotationszahl von ${\displaystyle f}$ auf dem Einheitskreis ${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}$ beträgt.

Sei ${\displaystyle f\colon S\to S}$ eine holomorphe Abbildung zwischen riemannschen Flächen.

Eine Zusammenhangskomponente ${\displaystyle U}$ der Fatou-Menge ${\displaystyle {\mathcal {F}}(f)}$ heißt Herman-Ring, wenn es eine biholomorphe Abbildung

${\displaystyle \phi \colon U\to R}$

auf e​in Ringgebiet

${\displaystyle R=\left\{z\in \mathbb {C} \colon r<\vert z\vert <1\right\}}$

mit ${\displaystyle r>0}$ gibt, so dass ${\displaystyle \phi f\phi ^{-1}}$ eine irrationale Drehung, also

${\displaystyle \phi f\phi ^{-1}(z)=e^{2\pi i\alpha }z}$

für ein ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ ist.

Geschichte

Nach Fatous Klassifikation invarianter Komponenten der Fatou-Menge für die Iteration einer rationalen Funktion ${\displaystyle f}$ müssen diese entweder Attraktionsgebiete, parabolische Gebiete oder Rotationsgebiete sein. Rotationsgebiete sind mit heutigen Bezeichnungen entweder Siegel-Scheiben oder Herman-Ringe. Die Existenz von Siegel-Scheiben wurde 1942 von Siegel bewiesen, während die Existenz von Herman-Ringen lange offen war und erst 1979 von Herman (mit Hilfe eines Satzes von Arnold über die Lösbarkeit einer gewissen Funktionalgleichung) bewiesen wurde.

Literatur

• Michael Herman: Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations, Publications Mathématiques de l'IHÉS 49, 5–233 (1979)

Weblinks

• Arnold-Herman-Ring (Lexikon der Mathematik)