Häufigkeitsdaten

In der Statistik bezeichnet man als Häufigkeitsdaten die Zusammenfassung der Ausprägungen ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k}}$ der Werte ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ eines Merkmals ${\displaystyle X}$ mit den jeweiligen Häufigkeiten ${\displaystyle h_{1},h_{2},\ldots ,h_{k}}$ bzw. ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots ,f_{k}}$.

Erklärung

Sei ${\displaystyle h_{j}=h(a_{j})}$ die absolute Häufigkeit der Ausprägungen ${\displaystyle a_{j}}$ und damit die Anzahl der Werte für die ${\displaystyle x_{i}=a_{j}}$ gilt und sei ${\displaystyle f_{j}=f(a_{j})=h_{j}/n}$ die relative Häufigkeit von ${\displaystyle a_{j}}$, d. h. der Anteil der Werte für die ${\displaystyle x_{i}=a_{j}}$ gilt. Die absolute Häufigkeitsverteilung ${\displaystyle h_{1},h_{2},\ldots ,h_{k}}$ und die relative Häufigkeitsverteilung ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots ,f_{k}}$ fasst man oft in einer Häufigkeitstabelle zusammen. Die Ausprägungen ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k}}$ zusammen mit den Häufigkeiten ${\displaystyle h_{1},h_{2},\ldots ,h_{k}}$ bzw. ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots ,f_{k}}$ werden auch als Häufigkeitsdaten bezeichnet.[1]

Anwendungsbeispiele

Arithmetisches Mittel für Häufigkeitsdaten

Für Häufigkeitsdaten mit den Ausprägungen ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k}}$ und den dazugehörigen relativen Häufigkeiten ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots ,f_{k}}$ ergibt sich das arithmetische Mittel als[2]

${\displaystyle {\overline {x}}:=a_{1}f_{1}+a_{2}f_{2}+\ldots +a_{k}f_{k}=\sum _{j=1}^{k}{a_{j}f_{j}}}$.

Empirische Varianz für Häufigkeitsdaten

Für Häufigkeitsdaten mit den Ausprägungen ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k}}$ und relativen Häufigkeiten ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots ,f_{k}}$ wird die empirische Varianz wie folgt berechnet

${\displaystyle {\tilde {s}}^{2}=\sum \limits _{j=1}^{k}\left(a_{j}-{\overline {x}}\right)^{2}f_{j}}$,[3]

mit ${\displaystyle {\overline {x}}:=\sum _{j=1}^{k}{f_{j}a_{j}}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{k}{h_{j}a_{j}}}$,

Einzelnachweise

1. Ludwig Fahrmeir, Rita Künstler, Iris Pigeot, Gerhard Tutz: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S. 30
2. Ludwig Fahrmeir, Rita Künstler, Iris Pigeot, und Gerhard Tutz: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S. 50.
3. Ludwig Fahrmeir, Rita Künstler, Iris Pigeot, Gerhard Tutz: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S. 65.