Giovanni Enrico Eugenio Vacca

Giovanni Enrico Eugenio Vacca (* 18. November 1872 i​n Genua; † 6. Januar 1953 i​n Rom) w​ar ein italienischer Mathematiker.

Giovanni Vacca

Er studierte i​n Genua Mathematik u​nd promovierte 1897 b​ei G.B. Negri. Im November 1897 w​urde er Assistent b​ei Giuseppe Peano, d​en er b​eim Verfassen seiner Formulario unterstützte. Er beschäftigte s​ich auch m​it Geschichte d​er Mathematik u​nd Naturwissenschaften. 1899 studierte e​r in Hannover d​ie unpublizierten Manuskripte v​on Gottfried Wilhelm Leibniz, d​ie er 1903 teilweise veröffentlichte.

Ein wesentlicher Beitrag Vaccas bestand darin, d​ass er 1910 u​nd 1926 n​ach Euler e​inen zweiten Typ e​iner Reihenentwicklung (die n​ach ihm benannte Vacca-Reihe) m​it rationalen Gliedern für d​ie Eulersche Konstante angegeben hat:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-\dots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\dots \\\zeta (2)+\gamma &=\sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}-{\frac {1}{k}}\right)=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {k-\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}{k\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {2}{3}}+{\tfrac {1}{2^{2}}}\left({\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {2}{6}}+{\tfrac {3}{7}}+{\tfrac {4}{8}}\right)+{\tfrac {1}{3^{2}}}\left({\tfrac {1}{10}}+\dots +{\tfrac {6}{15}}\right)+\dots \end{aligned}}}$

und bemerkt dazu:

There is some hope that this series can be of some use in the proof of the irrationality of ${\displaystyle \gamma }$, a very difficult problem, proposed, but not resolved, in the Correspondence, recently published, between Hermite und Stieltjes.

Weiter hat er 1910 eine komplexe Iteration für die Kreiszahl ${\displaystyle \pi \ }$ publiziert:[1]

${\displaystyle x_{0}=i,\quad x_{n+1}={\frac {x_{n}+|x_{n}|}{2}}}$ mit ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}={\frac {2}{\pi }}}$.

Sie ist jedoch wegen der notwendigen Langzahlarithmetik nicht gut zur numerischen Berechnung von ${\displaystyle \pi \ }$ geeignet, weil die Effizienz gegenüber den bekannten Borwein-Iterationen deutlich schlechter ist. Mit jedem Iterationsschritt wird nur etwa eine halbe Dezimalstelle gewonnen. Es ist ${\displaystyle x_{23}=0{,}636619772367573902289405968390...+0{,}00000011920928955078125...i}$.

Weblinks

• John J. O’Connor, Edmund F. Robertson: Giovanni Enrico Eugenio Vacca. In: MacTutor History of Mathematics archive.
• Krämer, Stefan. "Euler's Constant γ=0.577... Its Mathematics and History."

Quellen

1. G. Vacca. A new analytical expression for the number π and some historical considerations, Bulletin of the American Mathematical Society (Ser. 2), 1910, vol.16, p.368–369, JFM 41.0496.03