Gegenring

Der Gegenring z​u einem Ring i​st eine Konstruktion a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Ringtheorie. Der Gegenring z​u einem Ring entsteht dadurch, d​ass man b​ei der Multiplikation d​ie Faktoren vertauscht.

Definition

Es sei ${\displaystyle R}$ ein Ring. Dann wird der Gegenring ${\displaystyle R^{op}}$ (engl. opposite ring) wie folgt definiert:[1][2]

• Die unterliegende Menge von ${\displaystyle R^{op}}$ ist ${\displaystyle R}$.
• Die Addition + auf ${\displaystyle R^{op}}$ stimmt mit derjenigen auf ${\displaystyle R}$ überein.
• Die Multiplikation ${\displaystyle \circ }$ wird mittels der Multiplikation ${\displaystyle \cdot }$ von ${\displaystyle R}$ wie folgt definiert: ${\displaystyle a\circ b:=b\cdot a}$ für alle ${\displaystyle a,b\in R^{op}}$.

${\displaystyle R^{op}}$ ist also im Wesentlichen der Ausgangsring, lediglich bei der Multiplikation wird gegenüber dem Ausgangsring die Reihenfolge der Faktoren vertauscht.

Eigenschaften

• Ist ${\displaystyle R}$ kommutativ, so ist offenbar ${\displaystyle R^{op}=R}$.
• Sätze über Linksideale in einem Ring ${\displaystyle R}$ sind Sätze über Rechtsideale in ${\displaystyle R^{op}}$. Daher gelten Sätze, die für alle Linksideale in allen Ringen gelten, auch für Rechtsideale in allen Ringen.
• Ist ${\displaystyle R}$ eine ${\displaystyle K}$-Algebra über einem Körper, so ist auch ${\displaystyle R^{op}}$ eine solche Algebra, indem man für ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle R^{op}}$ dieselbe Vektorraumstruktur verwendet. Man spricht dann auch von der Gegenalgebra.
• Es sei ${\displaystyle \mathrm {Mat} _{n}(K)}$ die Algebra der ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen über einem Körper. Dann gilt für die Transposition ${\displaystyle A\mapsto A^{T}}$ bekanntlich die Regel ${\displaystyle (A\cdot B)^{T}=B^{T}\cdot A^{T}}$. Das bedeutet, dass die Transposition ein Ringhomomorphismus ${\displaystyle \mathrm {Mat} _{n}(K)\rightarrow \mathrm {Mat} _{n}(K)^{op}}$ ist, sogar ein Isomorphismus. Allgemeiner ist ein Antihomomorphismus ${\displaystyle R\rightarrow S}$ zwischen zwei Ringen ein Homomorphismus ${\displaystyle R\rightarrow S^{op}}$ bzw. ${\displaystyle R^{op}\rightarrow S}$
• Im Allgemeinen sind ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle R^{op}}$ nicht isomorph. Beispiele findet man dort, wo gewisse Links-rechts-Symmetrien nicht gelten. So gibt es zum Beispiel linksnoethersche Ringe, die nicht rechtsnoethersch sind; solche Ringe können nicht zu ihrem Gegenring isomorph sein.
• Ist ${\displaystyle M}$ ein ${\displaystyle R}$-Linksmodul, so wird ${\displaystyle M}$ durch die Definition ${\displaystyle m\cdot a:=am,\,a\in R,m\in M}$ zu einem ${\displaystyle R^{op}}$-Rechtsmodul.

Einzelnachweise

1. Theodor Bröcker: Lineare Algebra und Analytische Geometrie, Birkhäuser Verlag (2004), ISBN 3-0348-8962-3, Kapitel X, §8, Seite 331
2. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Definition 0.1.11