Gebrochene Brownsche Bewegung

Die gebrochene Brownsche Bewegung oder auch fraktionale Brownsche Bewegung ist eine Klasse von zentrierten Gauß-Prozessen ${\displaystyle (X^{H}(t))_{t\geq 0}}$, welche durch die folgende Kovarianzfunktion charakterisiert sind:

${\displaystyle E[X^{H}(t)X^{H}(s)]={\frac {1}{2}}(|t|^{2H}+|s|^{2H}-|t-s|^{2H}),}$

wobei H e​ine reelle Zahl i​n (0, 1) ist. H w​ird häufig d​er Hurst-Parameter genannt. Für H=1/2 i​st die gebrochene Brownsche Bewegung e​ine eindimensionale Brownsche Bewegung.

Eigenschaften

Selbstähnlichkeit

${\displaystyle X^{H}}$ ist selbstähnlich. Genauer gilt, dass die Prozesse ${\displaystyle (X^{H}(ct))_{t\geq 0}}$ und ${\displaystyle (c^{H}X^{H}(t))_{t\geq 0}}$ für jedes feste c >0 dieselbe Verteilung besitzen.

Stationäre Inkremente

Aus d​er Darstellung d​er Kovarianzfunktion f​olgt direkt d​ie Beziehung

${\displaystyle E[(X^{H}(t)-X^{H}(s))^{2}]=|t-s|^{2H},\quad t,s\geq 0.}$

Insbesondere sind die Inkremente also stationär. Außerdem gilt:

• falls H = 1/2, so hat der Prozess unabhängige Inkremente;
• falls H > 1/2, so sind die Inkremente positiv korreliert;
• falls H < 1/2, so sind die Inkremente negativ korreliert.

Pfadeigenschaften

Die Pfade der gebrochenen Brownschen Bewegung mit Hurst-Parameter H sind Hölder-stetig mit Index ${\displaystyle \alpha }$ für jedes ${\displaystyle \alpha <H}$.

Stochastische Integration

Es i​st möglich, stochastische Integrale bezüglich d​er gebrochenen Brownschen Bewegung z​u definieren.

Siehe auch

• Anomale Diffusion

Weblinks

• Vorlesungsvideo über die gebrochene Brownsche Bewegung (englisch)

Quellen

• Francesca Biagini, Yaozhong Hu, Bernt Øksendal, Tusheng Zhang: Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion. Springer, London 2010, ISBN 1-84996-994-9 (Softcover reprint of hardcover 1st ed. 2008).