Funktionenring

Ein Funktionenring i​st in d​er Mathematik (genauer d​er Ringtheorie) e​in spezieller Ring v​on Funktionen. Diese spielen e​ine große Rolle i​n der abstrakten Algebra, Topologie, s​owie zahlreichen Anwendungen d​er Mathematik i​n Naturwissenschaften.

Definition

Sei ${\displaystyle R}$ ein Ring, ${\displaystyle M}$ eine nichtleere Menge und

${\displaystyle \mathbb {F} (M,R):=\{f\colon M\to R\}}$

die Menge aller auf ${\displaystyle M}$ definierten Funktionen mit Werten in ${\displaystyle R}$. Dann sind durch

${\displaystyle (f+g)(x):=f(x)+g(x)}$

${\displaystyle (f\cdot g)(x):=f(x)\cdot g(x)}$

Verknüpfungen erklärt, mit denen ${\displaystyle \mathbb {F} (M,R)}$ zu einem Ring wird, dem sogenannten Ring der Funktionen.

Wichtige Eigenschaften

• Der Ring ${\displaystyle \mathbb {F} (M,R)}$ "ererbt" gewisse Eigenschaften von ${\displaystyle R}$, wie etwa die Kommutativität und das Einselement. Andere Eigenschaften, wie beispielsweise Nullteilerfreiheit, werden nicht "vererbt".
• Die Menge der konstanten Funktionen bildet einen zu ${\displaystyle R}$ isomorphen Unterring von ${\displaystyle F}$. Damit kann ${\displaystyle R}$ als Teilring von ${\displaystyle F}$ betrachtet werden.

Beispiele

• Wählt man als ${\displaystyle R}$ die Menge der reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mit den üblichen Addition und Multiplikation und als ${\displaystyle M}$ eine offene Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, so kann man von stetigen beziehungsweise differenzierbaren Funktionen sprechen. In diesem Falle sind die Mengen ${\displaystyle C(M)=\{f\colon M\to R\mid f{\text{ ist stetig}}\}}$ und ${\displaystyle D(M)=\{f\colon M\to R\mid f{\text{ ist differenzierbar}}\}}$ Unterringe von ${\displaystyle \mathbb {F} (M,R)}$. Dabei ist ${\displaystyle D(M)}$ ein Unterring von ${\displaystyle C(M)}$.

Auswertungshomomorphismus

Für ein festes ${\displaystyle a\in M}$ ist die Abbildung

${\displaystyle \phi \colon \mathbb {F} (M,R)\to R}$

${\displaystyle f\mapsto f(a)}$

ein Ringhomomorphismus. Man bezeichnet ihn als Auswertungshomomorphismus oder auch einfach als die Auswertung an der Stelle ${\displaystyle a\in M}$.

Literatur

• Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen. 6. durchgesehene und ergänzte Auflage, Nachdruck. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-528-56508-4 (Mathematik für Studienanfänger).
• Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra. Vieweg, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0226-2 (Vieweg Mathematik).