Fundamentallemma der homologischen Algebra

Das Fundamentallemma d​er homologischen Algebra (auch Hauptlemma d​er homologischen Algebra[1]) i​st ein technisches Lemma a​us dem mathematischen Gebiet d​er homologischen Algebra, e​s garantiert d​ie Fortsetzbarkeit v​on Kettenabbildungen zwischen Kettenkomplexen.

Das Fundamentallemma zeigt, d​ass die Definition v​on Homologiegruppen unabhängig v​on Wahlmöglichkeiten b​ei gewissen Konstruktionen ist.

Lemma

Es seien ${\displaystyle (C_{*},d_{*})}$ und ${\displaystyle (C_{*}^{\prime },d_{*}^{\prime })}$ zwei Kettenkomplexe. Für eine ganze Zahl ${\displaystyle r}$ sei

${\displaystyle (f_{i}\colon C_{i}\to C_{i}^{\prime })_{i\leq r}}$

eine Familie v​on Homomorphismen m​it

${\displaystyle d_{i}^{\prime }f_{i}=f_{i-1}d_{i}}$ für ${\displaystyle i\leq r}$ .

Wir nehmen an, dass alle ${\displaystyle C_{i}}$ mit ${\displaystyle i>r}$ projektive Moduln sind und dass ab Grad ${\displaystyle r}$ die Homologie von ${\displaystyle C^{\prime }}$ verschwindet, also ${\displaystyle H_{i}(C^{\prime })=0}$ für alle ${\displaystyle i\geq r}$ .

Dann lässt sich ${\displaystyle (f_{i}\colon C_{i}\to C_{i}^{\prime })_{i\leq r}}$ zu einem Kettenhomomorphismus

${\displaystyle f\colon C\to C^{\prime }}$

mit ${\displaystyle f=f_{i}}$ für ${\displaystyle i\leq r}$ fortsetzen und diese Fortsetzung ist eindeutig bis auf Kettenhomotopie. Zu je zwei Fortsetzungen kann die Kettenhomotopie ${\displaystyle h}$ so gewählt werden, dass ${\displaystyle h_{i}=0}$ für ${\displaystyle i\leq r}$ .[2]

Folgerungen

Eine unmittelbare Folgerung a​us dem Fundamentallemma i​st der folgende Lehrsatz:[3]

Zu je zwei projektiven Auflösungen ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle F^{\prime }}$ eines ${\displaystyle R}$ -Moduls ${\displaystyle M}$ gibt es eine (bis auf Kettenhomotopie eindeutige) augmentierungs-erhaltende Kettenhomotopieäquivalenz ${\displaystyle f\colon F\to F^{\prime }}$ .

Eine typische Anwendung dieser Tatsache findet sich bei der Definition von Homologiegruppen. Zum Beispiel wird die Gruppenhomologie ${\displaystyle H_{*}(G,A)}$ einer Gruppe ${\displaystyle G}$ mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe ${\displaystyle A}$ (bspw. ${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$ oder ${\displaystyle A=\mathbb {R} }$ ) definiert als Homologie des Kettenkomplexes

${\displaystyle F_{*}\otimes _{\mathbb {Z} G}\mathbb {Z} }$ ,

wobei ${\displaystyle F_{*}}$ eine beliebige projektive Auflösung des ${\displaystyle \mathbb {Z} G}$ -Moduls ${\displaystyle A}$ (mit der trivialen ${\displaystyle \mathbb {Z} G}$ -Wirkung) bezeichnet. Aus dem obigen Satz ergibt sich die Unabhängigkeit der so definierten Homologiegruppen von der Wahl der projektiven Auflösung. Für konkrete Berechnungen ist es oft sehr hilfreich, dass man zur Bestimmung der Homologie die projektive Auflösung beliebig wählen kann.

Eine andere Anwendung i​st die Definition d​es Tor-Funktors, d​er ebenfalls mittels projektiver Auflösungen definiert w​ird und w​o ebenso a​us dem obigen Satz d​ie Unabhängigkeit d​es Funktors v​on der gewählten projektiven Auflösung folgt.[4]

Allgemein k​ann obiger Satz z​um Beweis d​er Wohldefiniertheit linksderivierter Funktoren herangezogen werden.

Duale Version

Das Fundamentallemma h​at auch e​ine duale Version für Kokettenkomplexe.

Es seien ${\displaystyle (C^{*},d^{*})}$ und ${\displaystyle ({C^{\prime }}^{*},{d^{\prime }}^{*})}$ zwei Kokettenkomplexe. Für eine ganze Zahl ${\displaystyle r}$ sei

${\displaystyle (f_{i}\colon C^{i}\to {C^{\prime }}^{i})_{i\leq r}}$

eine Familie v​on Homomorphismen m​it

${\displaystyle {d^{\prime }}^{i}f_{i}=f_{i+1}d^{i}}$ für ${\displaystyle i\leq r}$ .

Wir nehmen an, dass alle ${\displaystyle C_{i}}$ mit ${\displaystyle i>r}$ injektive Moduln sind und dass ab Grad ${\displaystyle r}$ die Kohomologie von ${\displaystyle C^{\prime }}$ verschwindet, also ${\displaystyle H^{i}(C^{\prime })=0}$ für alle ${\displaystyle i\geq r}$ .

Dann lässt sich ${\displaystyle (f_{i}\colon C_{i}\to {C^{\prime }}^{i})_{i\leq r}}$ zu einem Kettenhomomorphismus

${\displaystyle f\colon C\to C^{\prime }}$

mit ${\displaystyle f=f_{i}}$ für ${\displaystyle i\leq r}$ fortsetzen und diese Fortsetzung ist eindeutig bis auf Kettenhomotopie. Zu je zwei Fortsetzungen kann die Kettenhomotopie ${\displaystyle h}$ so gewählt werden, dass ${\displaystyle h_{i}=0}$ für ${\displaystyle i\leq r}$ .

Die d​uale Version w​ird bei d​er Definition v​on Kohomologiegruppen benutzt, z​um Beispiel b​ei der Gruppenkohomologie, o​der bei d​er Definition d​es Ext-Funktors.

Literatur

• K. S. Brown: Cohomology of groups. Corrected reprint of the 1982 original. Graduate Texts in Mathematics, 87. Springer-Verlag, New York, 1994. ISBN 0-387-90688-6
• E. Ossa: Topologie. Vieweg Studium: Aufbaukurs Mathematik, 42. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1992. ISBN 3-528-07242-3

Weblinks

• C. Schweigert: Höhere Algebra: Darstellungstheorie und homologische Algebra (Kapitel 6)
• T. Bauer: Homologische Algebra und Gruppenkohomologie (Kapitel 3)
• J. F. Davis, P. Kirk: Lectures in Algebraic Topology (Chapter 2)

Einzelnachweise

1. Ossa, op.cit., Satz 6.1.8
2. Lemma I.7.4 in Brown, op. cit.
3. Theorem I.7.5 in Brown, op. cit.
4. Ossa, op.cit., Kapitel 6.1