Fredholm-Determinante

Die Fredholm-Determinante i​st ein Begriff a​us der Funktionalanalysis, d​er den Begriff d​er Determinante e​ines endlichdimensionalen linearen Operators verallgemeinert. Die Fredholm-Determinante h​at Anwendungen i​n der Theorie d​er Zufallsmatrizen u​nd der mathematischen Physik.

Die Funktion i​st nach Erik Ivar Fredholm benannt, d​er sie b​eim Studium v​on Integralgleichungen einführte.

Definition

Sei ${\displaystyle J_{1}}$ die Familie aller Spurklasseoperatoren über einem ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$-wertigen Hilbertraum. Sei ${\displaystyle K\in J_{1}}$ und ${\displaystyle \operatorname {Id} }$ der Identitätsoperator, dann ist die Fredholm-Determinante ${\displaystyle \operatorname {det} (\operatorname {Id} +K)}$ definiert als

${\displaystyle \operatorname {det} (\operatorname {Id} +K):=\sum \limits _{j=0}^{\infty }\operatorname {tr} (K^{\wedge j})}$.

Zur Erläuterung der rechten Seite sei ${\displaystyle (e_{i})_{i\in I}}$ eine Orthonormalbasis des zugrunde liegenden Hilbertraums ${\displaystyle H}$ mit einer wohlgeordneten Menge ${\displaystyle I}$. Das ${\displaystyle j}$-fache äußere Produkt ${\displaystyle H^{\wedge j}}$ ist der Hilbertraum mit Orthonormalbasis ${\displaystyle e_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i_{j}},\,i_{1}<\ldots <i_{j},\,i_{k}\in I}$. Dann ist der durch ${\displaystyle K^{\wedge j}(e_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i_{j}})\colon =Ke_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge Ke_{i_{j}}}$ definierte Operator ${\displaystyle K^{\wedge j}\colon H^{\wedge j}\rightarrow H^{\wedge j}}$ ebenfalls ein Spurklasseoperator und man kann die Spur ${\displaystyle \operatorname {tr} (K^{\wedge j})}$ bilden. Damit ist die rechte Seite obiger Definition erklärt.

Diese Definition stammt v​on Alexander Grothendieck. Es g​ibt mehrere gleichwertige Definitionen d​er Fredholm-Determinante, j​ede mit Vor- u​nd Nachteilen. Für weitere Berechnungen eignet s​ich aber v​or allem d​ie Definition über d​ie Graßmann-Algebra.[1]

Eigenschaften

Wenn ${\displaystyle K}$ ein Integraloperator mit stetigem Integralkern ${\displaystyle G}$ ist, dann lässt sich der Ausdruck umschreiben zu[2]

${\displaystyle \operatorname {tr} (K^{\wedge j})={\frac {1}{j!}}\sum \limits _{l_{1},\dots ,l_{j}=1}^{n}\int _{\mathbb {R} ^{j}}\det[G_{l_{s},l_{t}}(x_{s},x_{t})]_{s,t=1,\dots ,j}\mathrm {d} x_{1}\cdots \mathrm {d} x_{j}}$.

Herleitung nach Fredholm

Seien ${\displaystyle f(x),u(x)\in C[0,1]}$ und ${\displaystyle K(x,y)}$ ein Integralkern auf dem Produktraum. Fredholm studierte die Integralgleichung[3]

${\displaystyle f(x)=(I+K)u(x):=u(x)+\int _{0}^{1}K(x,y)u(y)\mathrm {d} y}$.

Er ersetzte das Integral in der Gleichung durch eine riemannsche Summe und diskretisierte ${\displaystyle f}$ als ${\displaystyle f_{i}=f(i/n)}$. Somit entstand ein System von ${\displaystyle n}$ linearen Gleichungen der Form

${\displaystyle f_{i}=u_{i}+{\frac {1}{n}}\sum \limits _{j}K_{ij}u_{j}}$.

Das kann man nun als Matrix-Vektor-Produkt ${\displaystyle (I+hK_{ij})u}$ verstehen, wobei ${\displaystyle h:=1/n}$. Sei nun ${\displaystyle D(1/n)}$ die Determinante dieser Matrix in Relation zur Diskretisierungslänge, dann gilt durch Taylorentwicklung

${\displaystyle D(1/n)=\sum \limits _{m=0}^{n}a_{m}h^{m}:=\sum \limits _{m=0}^{n}{\frac {1}{m!}}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} h}}\right)^{m}D(h)|_{h=0}h^{m}}$

und somit

${\displaystyle D(1/n)=1+{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i}K_{ij}+{\frac {1}{n^{2}}}\sum \limits _{i,j}\operatorname {det} {\begin{pmatrix}K_{ii}&K_{ij}\\K_{ji}&K_{jj}\end{pmatrix}}+\cdots }$

oder kompakt

${\displaystyle \operatorname {det} \left(I+n^{-1}K\right)=D(1/n)=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}\right)^{k}{\frac {1}{k!}}\int \cdots \int \operatorname {det} [K(x_{i},x_{j})]_{1=i,j}^{k}\mathrm {d} x_{1}\cdots \mathrm {d} x_{k}}$

und somit

${\displaystyle \operatorname {det} \left(I+\alpha K\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{k}}{k!}}\int \cdots \int \operatorname {det} [K(x_{i},x_{j})]_{1=i,j}^{k}\mathrm {d} x_{1}\cdots \mathrm {d} x_{k}}$.

Quellen

1. Issa Karambal, Veerle Ledoux, Simon J.A., Malham·Jitse Niesen: Introductory Fredholm theory and computation. Abgerufen am 16. April 2021.
2. Issa Karambal, Veerle Ledoux, Simon J.A., Malham·Jitse Niesen: Introductory Fredholm theory and computation. Abgerufen am 16. April 2021.
3. Rui Dong: Fredholm Determinant. Abgerufen am 16. April 2021.