Frame (Hilbertraum)

Ein Frame i​st ein Objekt a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Funktionalanalysis insbesondere a​us dem Bereich d​er Hilbertraumtheorie. Es handelt s​ich um e​in besonderes Erzeugendensystem e​ines Hilbertraumes.

Definition

Es sei ${\displaystyle H}$ ein separabler Hilbertraum mit Skalarprodukt ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ und davon induzierter Norm ${\displaystyle \|\cdot \|={\sqrt {\langle \cdot ,\cdot \rangle }}.}$ Eine Familie ${\displaystyle \left\{f_{j}\right\}_{j\in \mathbb {Z} }\subset H}$ heißt Frame von ${\displaystyle H}$, wenn es ${\displaystyle 0<m\leq M}$ gibt, so dass für alle ${\displaystyle f\in H}$ die Ungleichung

${\displaystyle m\left|\left|f\right|\right|^{2}\leq \sum _{j\in \mathbb {Z} }\left|\langle f,f_{j}\rangle \right|^{2}\leq M\left|\left|f\right|\right|^{2}}$

gilt. Dies bedeutet, dass die ${\displaystyle \ell ^{2}}$-Norm der Folge der Fourierkoeffizienten ${\displaystyle (\langle f,f_{j}\rangle )_{j\in \mathbb {Z} }}$ in direktem Zusammenhang mit der Norm der Funktion ${\displaystyle f}$ steht.

Kann darin ${\displaystyle m=M}$ gewählt werden, dann bezeichnet man den Frame als straff oder tight.

Ist obige Ungleichung speziell für ${\displaystyle m=M=1}$ erfüllt, so nennt man den Frame auch Parsevalframe. In diesem Fall gilt für alle ${\displaystyle f\in H}$ die parsevalsche Gleichung

${\displaystyle \left|\left|f\right|\right|^{2}=\sum _{j\in \mathbb {Z} }\left|\langle f,f_{j}\rangle \right|^{2}}$.

Beispiel

• Die Vektoren ${\displaystyle (1/2,1/2),\,(1/2,i/2),\,(1/2,-1/2),\,(1/2,-i/2)}$ sind ein straffer Frame für den ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}.}$

Eigenschaften

• Jedes Frame ${\displaystyle \left\{f_{j}\right\}_{j\in \mathbb {Z} }}$ ist ein Erzeugendensystem von ${\displaystyle H}$ im folgenden (topologischen) Sinne: Es gilt ${\displaystyle {\overline {\operatorname {span} \{f_{j}\}}}=H}$.
• Jede Orthonormalbasis ist ein Parsevalframe.
• Insbesondere Parsevalframes verhalten sich ähnlich gutartig wie Orthonormalbasen, da für diese die Entwicklung ${\displaystyle \textstyle f=\sum _{j\in \mathbb {Z} }\langle f,f_{j}\rangle f_{j}}$ gilt. Im Unterschied zu Orthonormalbasen ist diese Zerlegung jedoch nicht eindeutig, das heißt, es kann auch andere Koeffizienten ${\displaystyle \{c_{j}\}_{j\in \mathbb {Z} }}$ geben mit ${\displaystyle \textstyle f=\sum _{j\in \mathbb {Z} }c_{j}f_{j}\,.}$

Literatur

• Ole Christensen: An Introduction to Frames and Riesz Bases. Birkhäuser 2002, ISBN 0-8176-4295-1.

Weblinks

• Frame bei PlanetMath