Formfunktion

Formfunktionen ${\displaystyle N}$ sind Funktionen, die bei der Methode der finiten Elemente den realen Funktionsverlauf ${\displaystyle u(x,y)}$ über dem Element bestmöglich annähern.

Bedingung dabei ist die Erfüllung der Stetigkeitsbedingung. Deshalb können zwar keine Polynome der Art ${\displaystyle u(x,y)=c_{1}+c_{2}\cdot x+c_{3}\cdot y}$ verwendet werden, aber die Werte in den Knotenpunkten, die jeweils von mindestens zwei Elementen geteilt werden.

Der gesuchte Funktionsverlauf w​ird durch Interpolation d​er Werte i​n diesen Knotenpunkten näherungsweise bestimmt. Um d​en Funktionsverlauf d​urch die Knotenpunkte auszudrücken, führt m​an die Formfunktionen ein. Diese besitzen d​ie Eigenschaft, i​m aktuellen Knoten s​tets 1 u​nd in d​en restlichen Knoten 0 z​u sein, s​o dass s​ich der Funktionsverlauf ergibt als:

${\displaystyle u(x,y)=\sum _{i}u_{i}\cdot N_{i}(x,y)}$,

wobei

• ${\displaystyle u}$ den Wert am Knoten und
• ${\displaystyle i}$ die Nummer des Knotens im Element darstellt.

Beispiel

Die linearen Formfunktionen für das Einheitsdreieck im ${\displaystyle \xi }$,${\displaystyle \eta }$-Koordinatensystem lauten wie folgt:

${\displaystyle N(\xi ,\eta )={\begin{pmatrix}1-\xi -\eta \\\xi \\\eta \end{pmatrix}}}$

Das Einsetzen der jeweiligen Koordinaten der drei Eckpunkte ${\displaystyle (0,0),(1,0),(0,1)}$ zeigt die gewünschte Funktionalität:

${\displaystyle {\begin{aligned}N(0,0)={\begin{pmatrix}1-0-0=1\\0\\0\end{pmatrix}}\Rightarrow u(0,0)&=u_{1}\cdot N_{1}(0,0)+u_{2}\cdot N_{2}(0,0)+u_{3}\cdot N_{3}(0,0)\\&=u_{1}\cdot 1+u_{2}\cdot 0+u_{3}\cdot 0\\&=u_{1}\end{aligned}}}$

${\displaystyle N(1,0)={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\Rightarrow u(1,0)=u_{2}}$

${\displaystyle N(0,1)={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\Rightarrow u(0,1)=u_{3}}$

Quellen

• Hans Rudolf Schwarz: Methode der finiten Elemente. Teubner, Stuttgart 1991, ISBN 3-519-22349-X