Formel von Burnside

Die Formel v​on Burnside i​st eine Formel d​es mathematischen Teilgebiets d​er Analysis, welche a​uf den englischen Mathematiker William Burnside zurückgeht. Sie i​st eng verwandt m​it der Formel v​on Stirling u​nd gibt w​ie diese e​ine Approximation d​er Fakultätenfunktion.[1]

Darstellung der Formel

Die Burnside’sche Formel lässt s​ich angeben w​ie folgt:[2][3]

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi }}\;\left(\ n+{\frac {1}{2}}\right)^{\left(\ n+{\frac {1}{2}}\right)}{\mathrm {e} }^{-\left(\ n+{\frac {1}{2}}\right)}={\sqrt {2\pi }}\;\left({\frac {n+{\frac {1}{2}}}{\mathrm {e} }}\right)^{\left(\ n+{\frac {1}{2}}\right)}}$

Güte der Annäherung

Claudi Alsina und Roger B. Nelsen verweisen in ihrer Monographie Bezaubernde Beweise (Springer, 2013) darauf, dass die Burnside’sche Formel „ungefähr doppelt so genau wie die Stirling’sche Formel“[2] ist und dass man ihre Herleitung „durch Näherungen für das Integral ${\displaystyle \int _{1}^{n+{\frac {1}{2}}}{\ln(x)}\;\mathrm {d} x}$ “[4] gewinnt.

Siehe auch

• Näherungsweise Berechnung der Gammafunktion

Literatur

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Bezaubernde Beweise: eine Reise durch die Eleganz der Mathematik. Springer Spektrum, Berlin (u. a.) 2013, ISBN 978-3-642-34792-4, S. 269, 306–307.
• Francis J. Murray: Formulas for Factorial N. In: Mathematics of Computation. Band 39, 1982, S. 655–661 (Online-Kopie [PDF]).
• William Burnside: A rapidly convergent series for Log N! In: The Messenger of Mathematics. Band 46, 1917, S. 157–159.

Einzelnachweise

1. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Bezaubernde Beweise: eine Reise durch die Eleganz der Mathematik. 2013, S. 269, 306–307
2. Alsina/Nelsen, op. cit., S. 269
3. Francis J. Murray: Formulas for Factorial N. Math. Comp. 39 (1982), S. 655–661
4. Alsina/Nelsen, op. cit., S. 306