Flächenformel

Unter der Flächenformel versteht man eine Integrationsregel für die Berechnung von Flächeninhalten ${\displaystyle m}$-dimensionaler Flächen im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (${\displaystyle m\leq n}$). Hierbei wird vorausgesetzt, dass die ${\displaystyle m}$-dimensionale Fläche ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$ parametrisiert ist, d. h., es gibt eine auf einem Gebiet ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{m}}$ definierte injektive differenzierbare Abbildung ${\displaystyle f\colon G\to \mathbb {R} ^{n}}$ und eine messbare Teilmenge ${\displaystyle B\subset G}$, so dass ${\displaystyle A}$ das Bild von ${\displaystyle B}$ unter der Abbildung ${\displaystyle f}$ ist: ${\displaystyle A=f(B)}$.

Dann gilt:

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}(A)=\int \limits _{B}{\sqrt {\det(Df^{T}\,Df)}}\,dL^{m},}$

Dabei ist ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}(A)}$ das ${\displaystyle m}$-dimensionale Hausdorff-Maß (der ${\displaystyle m}$-dimensionale Flächeninhalt) von ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle L^{m}}$ das ${\displaystyle m}$-dimensionale Lebesgue-Maß (Volumenmaß) im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$. Der Integrand wird die verallgemeinerte Jacobi-Determinante von ${\displaystyle f}$ genannt; ${\displaystyle Df}$ ist die Ableitung (Funktionalmatrix) von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle Df^{T}}$ deren Transponierte.

Eine allgemeinere Formulierung d​er Flächenformel lautet

${\displaystyle \int \limits _{A}\!g\,\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{m}=\int \limits _{B}\!(g\circ f){\sqrt {\det(Df^{T}\,Df)}}\,\mathrm {d} L^{m}}$

und liefert den Wert des Integrals einer auf der Fläche ${\displaystyle A}$ definierten Funktion ${\displaystyle g}$ nach dem Hausdorff-Maß ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$.

Als Voraussetzungen für diese Formeln sind ${\displaystyle L^{m}}$-Messbarkeit von ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$-Messbarkeit von ${\displaystyle g}$ zu nennen, was allerdings keine wesentliche Einschränkung bedeutet, da alle in der Praxis vorkommenden Mengen bzw. Funktionen diese Eigenschaft besitzen.

Beide Formeln gelten in dieser Form nur, wenn die Abbildung ${\displaystyle f}$ (bis auf eine Nullmenge) injektiv ist, denn auf der linken Seite wird jeder Bildpunkt nur einmal gerechnet, auf der rechten aber jeder Urbildpunkt.

Die Voraussetzung, dass die Funktion ${\displaystyle f}$ differenzierbar ist, kann abgeschwächt werden. Es genügt, wenn sie Lipschitz-stetig ist; dann ist sie automatisch fast überall differenzierbar.

Im Spezialfall ${\displaystyle m=n}$ ergibt die Flächenformel die Transformationsformel aus der Maß- und Integrationstheorie.

Literatur

• Herbert Federer: Geometric measure theory. 1. Auflage. Springer, Berlin 1996, ISBN 3-540-60656-4 (englisch).