Fixpunktsatz von Weissinger

Der Fixpunktsatz v​on Weissinger i​st ein Fixpunktsatz i​n der Analysis. Er verallgemeinert d​en Fixpunktsatz v​on Banach.

Der Satz w​urde von Johannes Weissinger 1952 aufgestellt u​nd bewiesen.[1]

Aussage

Sei ${\displaystyle ({\mathcal {B}},\|\cdot \|)}$ ein Banachraum und ${\displaystyle U\subset {\mathcal {B}}}$ abgeschlossen und nichtleer sowie ${\displaystyle T:U\to U}$ eine Selbstabbildung, für die

${\displaystyle \|T^{j}u-T^{j}v\|\leq \alpha _{j}\|u-v\|,\quad \forall u,v\in U}$

gilt mit Zahlen ${\displaystyle \alpha _{j}\geq 0}$, so dass ${\displaystyle \textstyle \sum _{j=1}^{\infty }\alpha _{j}<\infty }$. Dann besitzt ${\displaystyle T}$ genau einen Fixpunkt in ${\displaystyle U}$, nämlich

${\displaystyle u=\lim _{n\to \infty }T^{n}u_{0}}$

mit einem beliebigen ${\displaystyle u_{0}\in U}$. Es gilt die Fehlerabschätzung

${\displaystyle \|u-u_{n}\|\leq \sum _{j=n}^{\infty }\alpha _{j}\|u_{1}-u_{0}\|}$

mit ${\displaystyle u_{j}=T^{j}u_{0}}$.

Bemerkungen

• Die Bedingung ${\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }\|T^{j}\|<\infty }$ ist offenbar hinreichend, denn in diesem Fall kann man ${\displaystyle \alpha _{j}=\|T^{j}\|}$ wählen.
• Der Beweis dieses Fixpunktsatzes stimmt im Wesentlichen mit dem klassischen Beweis des Fixpunktsatzes von Banach überein. Der Fixpunktsatz von Banach folgt mit der Ersetzung ${\displaystyle \alpha _{j}=k^{j}}$ für ein konstantes ${\displaystyle k}$ als Lipschitz-Konstante der Abbildung ${\displaystyle T}$.
• Der Fixpunktsatz von Weissinger dient als Basis für Existenz- und Eindeutigkeitsbeweise in der Theorie der Differentialgleichungen. Insbesondere folgt aus ihm der Satz von Picard-Lindelöf.

Einzelnachweise

1. Johannes Weissinger: Zur Theorie und Anwendung des Iterationsverfahrens. In: Mathematische Nachrichten. Band 8, S. 193–212.