Fixpunktsatz für ganze Funktionen

Der Fixpunktsatz für g​anze Funktionen i​st ein Lehrsatz d​er Komplexen Analysis, welcher a​uf eine Arbeit d​es französischen Mathematikers Pierre Fatou a​us dem Jahr 1926 zurückgeht[1][2]. Er w​urde von d​em amerikanischen Mathematiker Paul C. Rosenbloom i​m Jahr 1948 wiederentdeckt[3] u​nd in d​er Folge weiter verallgemeinert.[4]

Der Satz ergibt s​ich als Folgerung a​us dem Kleinen Satz v​on Picard.[5][6]

Formulierung des Satzes

„Für eine ganze Funktion ${\displaystyle f\colon \,\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ hat die verkettete Funktion   ${\displaystyle {f\circ f}\colon \,\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$   stets einen Fixpunkt, es sei denn,   ${\displaystyle f}$   ist eine Translation   ${\displaystyle z\mapsto f(z)=z+z_{0}}$   mit   ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$.“

Abgrenzung

Hingegen brauchen ganze Funktionen   ${\displaystyle f\colon \,\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$   selbst keine Fixpunkte zu besitzen. Ein einfaches Beispiel hierfür liefert die Funktion   ${\displaystyle z\mapsto f(z)={z+\exp(z)}}$, welche sicher „fixpunktfrei“ ist, da nämlich die komplexe Exponentialfunktion   ${\displaystyle \exp }$   keine Nullstellen hat .

Literatur

Originalarbeiten

• Detlef Bargmann, Walter Bergweiler: Periodic points and normal families. In: Proc. Amer. Math. Soc. Band 129, 2001, S. 2881–2888 (MR1840089).

• Pierre Fatou: Sur l’itération des fonctions transcendantes Entières. In: Acta Math. Band 47, 1926, S. 337–370 (MR1555220).
• Paul C. Rosenbloom: L’itération des fonctions entières. In: C. R. Acad. Sci. Paris. Band 227, 1948, S. 382–383 (MR0026691).
• P. C. Rosenbloom: The fix-points of entire functions. In: Medd. Lunds Univ. Mat. Sem. Tome Supplémentaire. 1952, S. 186–192 (MR0051916).

Monographien

• Robert B. Burckel: An Introduction to Classical Complex Analysis. Birkhäuser Verlag, Basel [u. a.] 1979, ISBN 3-7643-0989-X.
• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2 (= Springer-Lehrbuch – Grundwissen Mathematik). 3., neu bearbeitete Auflage. Springer Verlag, Berlin [u. a.] 2007, ISBN 978-3-540-40432-3.

Weblink

• Link zu dem weiterführenden Artikel von Bargmann und Bergweiler (PDF; 180 kB)

Einzelnachweise

1. Fatou: Sur l’itération des fonctions transcendantes Entières. In: Acta Math. Band 47, S. 345.
2. Burckel: S. 433, 458, 559.
3. Rosenbloom: L’itération des fonctions entières. In: C. R. Acad. Sci. Paris. Band 227, S. 382–383.
4. Rosenbloom: The fix-points of entire functions. In: Medd. Lunds Univ. Mat. Sem. Tome Supplémentaire. 1952, S. 186 ff.
5. Burckel: S. 433.
6. Remmert, Schumacher: S. 233–234.