Finsler-Mannigfaltigkeit
In der Geometrie sind Finsler-Mannigfaltigkeiten eine Verallgemeinerung riemannscher Mannigfaltigkeiten.
Sie sind nach Paul Finsler benannt.
Definition
Eine Finsler-Mannigfaltigkeit ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer außerhalb des Nullschnitts glatten Funktion so dass für alle gilt:
- mit Gleichheit nur für
- für alle
- .
Hierbei bezeichnet den Tangentialraum der Mannigfaltigkeit im Punkt und das Tangentialbündel von also die disjunkte Vereinigung aller Tangentialräume.
Die Finsler-Mannigfaltigkeit heißt symmetrisch falls für alle gilt.
Beispiele
- Normierte Vektorräume, wenn die Norm außerhalb des Nullvektors glatt ist.
- Riemannsche Mannigfaltigkeiten : setze .
- Konvexe Mengen mit der Hilbert-Metrik : setze für .
Länge und Volumen
Die Länge einer rektifizierbaren Kurve ist definiert durch
- .
Die Volumenform einer -dimensionalen Finsler-Mannigfaltigkeit ist wie folgt definiert. Sei , eine Basis von , die duale Basis. Sei das euklidische Volumen von . Die Volumenform ist dann gegeben durch
- ,
wobei das euklidische Volumen der Einheitskugel im bezeichnet. Das Busemann-Volumen einer messbaren Menge ist definiert durch .
Literatur
- D. Bao, S.-S. Chern, Z. Shen: An introduction to Riemann-Finsler geometry. (= Graduate Texts in Mathematics. 200). Springer-Verlag, New York 2000, ISBN 0-387-98948-X.
- Zhongmin Shen: Lectures on Finsler geometry. World Scientific Publishing, Singapore 2001, ISBN 981-02-4531-9.