Feynman-Kac-Formel

Der Satz v​on Feynman-Kac i​st ein Ergebnis d​er Wahrscheinlichkeitstheorie, d​as z. B. i​n der Finanzmathematik Anwendung findet. Er verbindet d​ie Wahrscheinlichkeitstheorie m​it der Theorie d​er partiellen Differentialgleichungen. Der Name g​eht auf Richard Feynman u​nd Mark Kac zurück.

Aussage des Satzes

Sei zunächst ${\displaystyle X_{t}}$ ein an die Filtration ${\displaystyle (F_{t})_{t}}$ adaptierter Prozess und Lösung der stochastischen Differentialgleichung

${\displaystyle dX_{t}=\sigma (t,X_{t})dW_{t}+\mu (t,X_{t})dt}$.

${\displaystyle (X_{t})_{t}}$ ist daher ein Itō-Prozess. Sei ferner

${\displaystyle h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

eine beschränkte, Borel-messbare Funktion und ${\displaystyle g(t,x)=\mathbb {E} (h(X_{T})\mid X_{t}=x)}$ die an die Information in ${\displaystyle t}$ bedingte Erwartung ihres Wertes in ${\displaystyle X_{T}}$. Dann erfüllt ${\displaystyle g}$ die partielle (nicht-stochastische!) Differentialgleichung

${\displaystyle g_{t}(t,x)+g_{x}(t,x)\mu (t,x)+{\frac {1}{2}}g_{xx}(t,x)\sigma (t,x)^{2}=0}$

mit der Randbedingung ${\displaystyle g(T,x)=h(x)}$.

Der Beweis verwendet die Martingaleigenschaft der bedingten Erwartung und die Tatsache, dass ein Itō-Prozess (gegeben in ${\displaystyle g}$) genau dann Martingal ist, wenn sein Driftterm verschwindet.

Beispiel

Zum Beispiel könnte ${\displaystyle h}$ die Auszahlung eines Finanzinstruments (etwa Call-Option) sein, basierend auf dem Wert von ${\displaystyle X_{t}}$ (etwa eine Aktie). Dann beschreibt ${\displaystyle g}$ den Preisprozess dieses Instruments. ${\displaystyle g_{x}}$ ist die Ableitung des Preises vom Basiswert, im Fall einer Option ist daher ${\displaystyle {\frac {g_{x}}{g}}}$ ihr Delta. ${\displaystyle {\frac {g_{t}}{g}}}$ ist im Fall einer Call-Option das Theta.

Literatur

• Bernt Øksendal: Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. 6. Auflage, Springer, Berlin 2003, ISBN 978-3-540-04758-2.
• John Michael Steele: Stochastic Calculus and Financial Applications. Springer, New York 2001, ISBN 0-387-95016-8.