Fatou-Bieberbach-Gebiet

Ein Fatou-Bieberbach-Gebiet ist ein echtes Teilgebiet von ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, welches biholomorph äquivalent ist zu ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, d. h. ein offenes ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} ^{n}\;(\Omega \neq \mathbb {C} ^{n})}$ heißt Fatou-Bieberbach-Gebiet, falls es eine bijektive holomorphe Funktion ${\displaystyle f\colon \Omega \rightarrow \mathbb {C} ^{n}}$ und eine holomorphe Umkehrfunktion ${\displaystyle f^{-1}\colon \mathbb {C} ^{n}\rightarrow \Omega }$ gibt.

Geschichte

Als Konsequenz des Riemannschen Abbildungssatzes gibt es im Falle ${\displaystyle n=1}$ keine Fatou-Bieberbach-Gebiete. In höheren Dimensionen wurden Fatou-Bieberbach-Gebiete erstmals in den 1920er-Jahren von Pierre Fatou und Ludwig Bieberbach entdeckt und später nach ihren Entdeckern benannt. Seit den 1980er-Jahren sind Fatou-Bieberbach-Gebiete wieder Gegenstand der mathematischen Forschung.

Quellen

• Pierre Fatou: Sur les fonctions méromorphes de deux variables, Sur certaines fonctions uniformes de deux variables. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, Band 175 (1922), S. 862–865, 1030–1033.
• Ludwig Bieberbach: Beispiel zweier ganzer Funktionen zweier komplexer Variablen, welche eine schlichte volumtreue Abbildung des ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{4}}$ auf einen Teil seiner selbst vermitteln. Preussische Akademie der Wissenschaften. Sitzungsberichte, 1933, S. 476–479.
• J.-P. Rosay, W. Rudin: Holomorphic maps from ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ to ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Transactions of the American Mathematical Society, Band 310 (1988), Heft 1, S. 47–86.