Falksches Schema

Das Falksche Schema (benannt nach dem deutschen Ingenieur Sigurd Falk) ist eine Tabelle, die eine optische Hilfe bei der Matrizenmultiplikation von Hand bietet. Der linke Faktor, die ${\displaystyle (m\times r)}$-Matrix, wird links von der ${\displaystyle (m\times n)}$-Ergebnismatrix und der rechte Faktor, die ${\displaystyle (r\times n)}$-Matrix, wird oberhalb der Ergebnismatrix platziert. Wo sich die ${\displaystyle i}$-te Zeile des linken Multiplikanden und die ${\displaystyle j}$-te Spalte des rechten Multiplikanden kreuzen, wird das entsprechende Skalarprodukt eingetragen.

Beispiel

Gegeben s​ind die Matrizen

${\displaystyle A_{3\times 2}={\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&-6\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle B_{2\times 2}={\begin{pmatrix}-1&1\\1&-2\\\end{pmatrix}}}$ .

Es soll das Produkt ${\displaystyle C=A\cdot B}$ ermittelt werden. ${\displaystyle C}$ ist eine ${\displaystyle (3\times 2)}$-Matrix.

Zunächst w​ird das falksche Schema aufgestellt, i​ndem die Matrizen höhenversetzt nebeneinander geschrieben werden (in d​er ursprünglichen Ausrichtung, a​lso ohne Kippen o​der Drehen).

			Spalte j
			1	2
			−1	1
Zeile i			1	−2
1	1	4
2	2	5
3	3	−6

Die erste Zeile von ${\displaystyle A}$ wird elementweise mit der ersten Spalte von ${\displaystyle B}$ multipliziert: 1 · (−1) + 4 · 1 = 3 und ergibt das Element ${\displaystyle c_{11}=3}$.

			Spalte j
			1	2
			−1	1
Zeile i			1	−2
1	1	4	3
2	2	5
3	3	−6

Die erste Zeile von ${\displaystyle A}$ wird elementweise mit der zweiten Spalte von ${\displaystyle B}$ multipliziert: 1 · 1 + 4 ·(−2) = −7 und ergibt das Element ${\displaystyle c_{12}=-7}$.

			Spalte j
			1	2
			−1	1
Zeile i			1	−2
1	1	4	3	−7
2	2	5
3	3	−6

Analog wird mit den weiteren Zeilen verfahren. Zum Schluss wird die dritte Zeile von ${\displaystyle A}$ elementweise mit der zweiten Spalte von ${\displaystyle B}$ multipliziert: 3 · 1 + (−6) · (−2) = 15 und ergibt das Element ${\displaystyle c_{32}=15}$.

			Spalte j
			1	2
			−1	1
Zeile i			1	−2
1	1	4	3	−7
2	2	5	3	−8
3	3	−6	−9	15

Literatur

• Sigurd Falk: Ein übersichtliches Schema für die Matrizenmultiplikation. In: Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik (ZAMM). Band 31, Nr. 4–5, 1951, ISSN 0044-2267, S. 152–153, doi:10.1002/zamm.19510310409.
• Rudolf Zurmühl, Falk: Matrizen und ihre Anwendung. Band 1. 7. Auflage. Springer, 1997, S. 17
• Sascha Kurz, Jörg Rambau: Mathematische Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler. Kohlhammer Verlag, Stuttgart 2009, ISBN 978-3-17-019882-1, S. 29–30.
• Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. 4. Auflage. Band 2. Vieweg + Teubner Verlag, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-9730-5, S. 525–528.
• Karl-Eugen Kurrer: The History of the Theory of Structures. Searching for Equilibrium. Ernst & Sohn, Berlin 2018, ISBN 978-3-433-03229-9, S. 842 f.

Weblinks

• Wikibooks: Analytische Geometrie – Matrizen – Rechnen mit Matrizen – Matrizenmultiplikation
• Dankert: Verschiedene Beispiele und deren Erweiterung. HAW Hamburg, Archivlink abgerufen am 27. Februar 2022