Euler-Theorem

Das Euler-Theorem (manchmal a​uch Eulersche Identität[1] o​der Satz v​on Euler über homogene Funktionen) i​st ein Satz a​us der Analysis, d​er den Zusammenhang e​iner (total) differenzierbaren u​nd (positiv) homogenen Funktion m​it ihren partiellen Ableitungen beschreibt. Das Theorem findet vielfach Anwendung i​n der Volkswirtschaftslehre, insbesondere i​n der Mikroökonomie.[2] Dort i​st es a​uch unter d​en Namen Wicksteed-Euler-Theorem o​der Ausschöpfungstheorem bekannt.

Geschichte

Der Satz i​st nach Leonhard Euler (1707–1783) benannt. Das Euler-Theorem w​urde in d​ie Wirtschaftswissenschaften d​urch den Ökonomen Philip Wicksteed integriert. Er benutzte Eulers Theorem i​n seinem 1894 veröffentlichten Buch The Co-ordination o​f the Laws o​f Distribution.

Aussage

Sei die Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {C} }$ (total) differenzierbar und (positiv) homogen vom Grad ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$. Letzteres bedeutet ${\displaystyle f(tx)=t^{\lambda }f(x)}$ für alle ${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{>0}}$ und ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{k}}$. Dann gilt für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{k}}$:[1]

${\displaystyle \lambda \cdot f(x)=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)\cdot x_{i}={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(x)\cdot x_{1}+\ldots +{\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}(x)\cdot x_{k}}$

Herleitung

Betrachte die Funktion ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {C} ,\;t\mapsto f(tx)}$. Aus der mehrdimensionalen Kettenregel folgt

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)\cdot x_{i}={\frac {\mathrm {d} f(tx)}{\mathrm {d} t}}{\bigg \vert }_{t=1}={\frac {\mathrm {d} t^{\lambda }f(x)}{\mathrm {d} t}}{\bigg \vert }_{t=1}=\lambda t^{\lambda -1}f(x){\bigg \vert }_{t=1}=\lambda f(x)}$,

wobei die zweite Gleichheit aus der vorausgesetzten Homogenität von ${\displaystyle f}$ folgt.

Anwendung in der Volkswirtschaftslehre

Sei ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}^{k}\to \mathbb {R} }$ die (total) differenzierbare Produktionsfunktion mit konstanten Skalenerträgen einer Firma. Mathematisch bedeutet dies, dass ${\displaystyle f}$ (positiv) homogen vom Grad 1 ist. Dann folgt aus Eulers Theorem:

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)\cdot x_{i}={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(x)\cdot x_{1}+\dotsb +{\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}(x)\cdot x_{k}}$

Unter der Annahme des perfekten Wettbewerbs auf allen Faktormärkten wird jeder Produktionsfaktor ${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{k}}$ im Marktgleichgewicht ${\displaystyle x^{*}\in \mathbb {R} _{\geq 0}^{k}}$ gemäß seinem Grenzertrag entlohnt. Das bedeutet für alle ${\displaystyle i=1,\dotsc ,k}$, dass die Faktorentlohnung des ${\displaystyle i}$-ten Produktionsfaktors ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}^{*}}}(x^{*})}$ entspricht. Dies impliziert, dass die betrachtete Firma im Marktgleichgewicht ${\displaystyle x^{*}}$ keinen Gewinn erwirtschaften kann, da die komplette Produktion ${\displaystyle f(x^{*})}$ für die Entlohnung der Produktionsfaktoren, ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x^{*})\cdot x_{i}^{*}}$, aufgewendet wird.

Ein konkretes Beispiel: Gegeben sei die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R_{\geq 0}^{2}} \to \mathbb {R} ,\;(K,L)\mapsto {\sqrt {KL}}}$, wobei ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle L}$ hier die Faktoren Kapital bzw. Arbeit darstellen. ${\displaystyle f}$ ist offensichtlich differenzierbar und homogen vom Grad 1, da ${\displaystyle f(\alpha K,\alpha L)=\alpha f(K,L)}$ für alle ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} _{>0}}$ gilt. Laut Eulers Theorem folgt:

${\displaystyle K{\frac {\partial f}{\partial K}}(K,L)+L{\frac {\partial f}{\partial L}}(K,L)=K\cdot {\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {L}}{\sqrt {K}}}+L\cdot {\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {K}}{\sqrt {L}}}={\sqrt {KL}}=f(K,L)}$

Siehe auch

• Homogene Funktion

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Euler’s Homogeneous Function Theorem. In: MathWorld (englisch).
• Eulersches Theorem in Gablers Wirtschaftslexikon

Einzelnachweise

1. Konrad Königsberger: Analysis 2. 5. Auflage. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20389-3, Kapitel 2.8, Aufgabe 4.
2. Andreu Mas-Collel, Michael D. Whinston, Jerry R. Green: Microeconomic Theory. Oxford University Press, New York 1995, ISBN 978-0-19-510268-0, S. 929.