Embree-Trefethen-Konstante

Die Embree-Trefethen-Konstante ist eine mathematische Konstante, die nach den Mathematikern Mark Embree und Lloyd Nicholas Trefethen benannt wurde. Sie ist ein Grenzkoeffizient in der Zahlentheorie und wird mit ${\displaystyle \beta ^{*}}$ bezeichnet.

Für ein festes reelles ${\displaystyle \beta >0}$ betrachte man die Rekursion

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}\pm \beta \ x_{n-1},}$

wobei für das Rechenzeichen auf der rechten Seite unabhängig für jedes ${\displaystyle n}$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle +}$ oder ${\displaystyle -}$ gewählt wird.

Für ${\displaystyle \beta =1}$ erhält man die zufällige Fibonacci-Folge.

Es k​ann gezeigt werden, d​ass der Grenzwert

${\displaystyle \sigma (\beta ):=\lim _{n\to \infty }|x_{n}|^{\frac {1}{n}}}$

für jede Wahl von ${\displaystyle \beta }$ fast sicher existiert. Mit anderen Worten: Die Folge verhält sich mit Wahrscheinlichkeit 1 asymptotisch exponentiell mit Basis ${\displaystyle \sigma (\beta )}$.

Es gilt

${\displaystyle \sigma <1}$ für ${\displaystyle 0<\beta <\beta ^{*}\approx 0{,}70258,}$

also fällt die Folge der ${\displaystyle x_{n}}$ dann fast sicher asymptotisch exponentiell, und

${\displaystyle \sigma >1}$ für ${\displaystyle \beta >\beta ^{*},}$

also wachsen diesfalls d​ie Folgenglieder f​ast sicher asymptotisch exponentiell.

Spezielle Werte von ${\displaystyle \sigma }$ sind:

• ${\displaystyle \sigma (1)=1{,}131\,988\,248\,794\,3\dots }$ (Viswanath-Konstante) und (nach Definition)
• ${\displaystyle \sigma (\beta ^{*})=1}$.

Literatur

• Mark Embree, Lloyd Nicholas Trefethen: Growth and Decay of Random Fibonacci Sequences. (PDF; 381 kB). In: Proceedings of the Royal Society. A 455, Juli 1999, S. 2471–2485 (englisch).
• Eric W. Weisstein: Random Fibonacci Sequence. In: MathWorld (englisch).