Einfach-gleichmäßige Konvergenz

Die einfach-gleichmäßige Konvergenz ist ein Konvergenzbegriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Es handelt sich um eine Abschwächung der gleichmäßigen Konvergenz. Definiert wurde der Begriff unter anderem von Ulisse Dini.[1]

Definition

Sei $D_{f}\subset \mathbb {R}$ eine Teilmenge. Eine punktweise konvergente Funktionenfolge $(f_{n}\colon D_{f}\to \mathbb {R} )_{n\in \mathbb {N} }$ heißt gegen $f$ einfach-gleichmäßig konvergent, wenn

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall x\in D_{f}:\operatorname {Card} (\{n\mid n\geq N,\ \left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon \})=\aleph _{0}

gilt. Mit $\aleph _{0}$ ist die Mächtigkeit von $\mathbb {N}$ gemeint.

Eigenschaften

Jede gleichmäßig konvergente Funktionenfolge ist auch einfach-gleichmäßig konvergent.

Einzelnachweise

E. W. Hobson: The Theory of Functions of a Real Variable and the Theory of Fourier's Series. 2nd edition, Cambridge, ISBN 978-1418186517, S. 105–106.

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[1] E. W. Hobson: The Theory of Functions of a Real Variable and the Theory of Fourier's Series. 2nd edition, Cambridge, ISBN 978-1418186517, S. 105–106.