Dynkin-Index

In der Mathematik wird der Dynkin-Index ${\displaystyle T_{R}}$ einer irreduziblen Darstellung R definiert als

${\displaystyle \mathrm {Spur} (T^{a}T^{b})=\delta ^{ab}T_{R}}$

worin ${\displaystyle T^{a}}$ die Erzeugenden der Darstellung sind. Der Begriff trägt seinen Namen zu Ehren des russischen Mathematikers Eugene Dynkin.

Für eine Darstellung ${\displaystyle |\lambda |}$ der Lie-Algebra ${\displaystyle g}$ mit dem höchsten Gewicht ${\displaystyle \lambda }$ wird der Dynkin-Index ${\displaystyle \chi _{\lambda }}$ definiert als

${\displaystyle \chi _{\lambda }={\frac {\dim(|\lambda |)}{2\dim(g)}}(\lambda ,\lambda +2\rho )}$

worin d​er Weyl-Vektor

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha \in \Delta ^{+}}\alpha }$

gleich der Hälfte der Summe aller positiven Wurzeln von ${\displaystyle g}$ ist. Ist als Spezialfall ${\displaystyle \lambda }$ die größte Wurzel, das heißt, ${\displaystyle |\lambda |}$ ist die adjungierte Darstellung, so ist der Dynkin-Index ${\displaystyle \chi _{\lambda }}$ gleich der dualen Coxeter-Zahl.

Literatur

• Philippe Di Francesco, Pierre Mathieu, David Sénéchal: Conformal Field Theory. Springer-Verlag, New York 1997, ISBN 0-387-94785-X.