Differenzkokern

Der Differenzkokern i​st ein mathematischer Begriff a​us dem Teilgebiet d​er Kategorientheorie. Es handelt s​ich um d​en zum Differenzkern dualen Begriff. Alternative Bezeichnungen s​ind Koegalisator oder, d​er englischen Bezeichnung nachempfunden, Koequalizer. Auch d​ie Schreibweisen m​it „c“, d​as heißt Differenzcokern, Coegalisator bzw. Coequalizer, s​ind gebräuchlich.

Definition

In einer Kategorie seien zwei Morphismen ${\displaystyle f,g\colon X\rightarrow Y}$ gegeben. Ein Differenzkokern von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ ist ein Morphismus ${\displaystyle q\colon Y\rightarrow Z}$ mit folgenden Eigenschaften:

• ${\displaystyle q\circ f=q\circ g}$
• Ist auch ${\displaystyle q'\colon Y\rightarrow Z'}$ ein Morphismus mit ${\displaystyle q'\circ f=q'\circ g}$, so gibt es einen eindeutig bestimmten Morphismus ${\displaystyle c\colon Z\rightarrow Z'}$ mit ${\displaystyle q'=c\circ q}$.[1][2]

  ${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}X&{\underset {f}{\overset {g}{\rightrightarrows }}}&Y&{\xrightarrow {q}}&Z\\&&&\searrow ^{q'}&\downarrow ^{c}\\&&&&Z'\\\end{array}}}$

Beispiele

• In der Kategorie Set der Mengen oder der Kategorie Top der topologischen Räume seien ${\displaystyle f,g\colon X\rightarrow Y}$ wie in obiger Definition. Es sei weiter ${\displaystyle Q}$ die kleinste Äquivalenzrelation auf ${\displaystyle Y}$, die alle Paare ${\displaystyle (f(x),g(x)),\ x\in X}$ enthält. Dann ist die Identifizierungsabbildung ${\displaystyle q\rightarrow Y/Q}$ ein Differenzkokern von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$.[3]
• In der Kategorie ${\displaystyle R}$-Mod der Linksmoduln über einem Ring ${\displaystyle R}$ sei in der Situation obiger Definition ${\displaystyle Q}$ der von allen Differenzen ${\displaystyle f(x)-g(x),\ x\in X}$ erzeugte Untermodul von ${\displaystyle Y}$. Dann ist die Quotientenabbildung ${\displaystyle q\rightarrow Y/Q}$ ein Differenzkokern von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$. Dies ist also nichts anderes als der Kokern der Differenz ${\displaystyle f-g}$, was die Bezeichnung Differenzkokern erklärt.
• Hat die betrachtete Kategorie Nullobjekte und ist in der Situation obiger Definition ${\displaystyle g=0_{XY}}$ der Nullmorphismus ${\displaystyle X\rightarrow Y}$, so ist ein Differenzkokern von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle 0_{XY}}$ nichts anderes als ein Kokern von ${\displaystyle f}$. Damit ist jeder Kokern ein Beispiel für einen Differenzkokern.

Bemerkungen

• Differenzkokerne sind nicht eindeutig bestimmt. Sind aber in der Situation obiger Definition ${\displaystyle q\colon Y\rightarrow Z}$ und ${\displaystyle {\tilde {q}}\colon Y\rightarrow {\tilde {Z}}}$ zwei Differenzkokerne von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ so folgt aus der Eindeutigkeiteigenschaft, dass es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus ${\displaystyle c\colon Z\rightarrow {\tilde {Z}}}$ mit ${\displaystyle {\tilde {q}}=c\circ q}$ gibt. Differenzkokerne sind also bis auf (eindeutige) Isomorphie bestimmt, weshalb man oft von dem Differenzkokern spricht.
• In einer weiteren sprachlichen Ungenauigkeit nennt man das Objekt ${\displaystyle Z}$ den Differenzkokern. Der eigentlich gemeinte Morphismus ist dann immer eine naheliegende Quotientenabbildung und bleibt daher unerwähnt.
• Man sagt, eine Kategorie habe Differenzkokerne, wenn es zu je zwei Morphismen ${\displaystyle f,g\colon X\rightarrow Y}$ einen Differenzkokern gibt. Die in den obigen Beispielen genannten Kategorien Set, Top und ${\displaystyle R}$-Mod haben offenbar Differenzkokerne.
• Die Differenzkokerne einer Kategorie sind genau der Differenzkerne der dualen Kategorie.
• Ein Morphismus ${\displaystyle q\colon Y\rightarrow Z}$ ist genau dann ein Differenzkokern von ${\displaystyle f,g\colon X\rightarrow Y}$, wenn das Diagramm

  ${\displaystyle {\begin{array}{ccc}X&{\xrightarrow {f}}&Y\\\downarrow ^{g}&&\downarrow ^{q}\\Y&{\xrightarrow {q}}&Z\\\end{array}}}$

ein Pushout ist.[4]

• Jeder Differenzkokern ist ein Epimorphismus. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, diejenigen Epimorphismen, die als Differenzkokern auftreten, nennt man regulär.

Einzelnachweise

1. B. Pareigis: Kategorien und Funktoren, B. G. Teubner (1969), Kapitel 1.9: Differenzkerne und -kokerne
2. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Definition 16.2
3. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Beispiel 16.3 (2)
4. H. Schubert: Kategorien II, Akademie-Verlag Berlin 1970, Satz 18.4.3