Dehn-Twist

In d​er Topologie, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik, s​ind Dehn-Twists bestimmte Selbstabbildungen v​on Flächen. Dehn-Twists wurden v​on Max Dehn eingeführt, d​er sie ursprünglich a​ls "Schraubungen" bezeichnete.[1]

Definition

Sei eine orientierbare Fläche und eine einfache geschlossene Kurve. Sei eine Tubenumgebung von , das heißt, wir haben einen Homöomorphismus , der auf abbildet. Wir benutzen diesen Homöomorphismus, um durch Koordinaten mit zu parametrisieren.

Wir definieren dann eine Abbildung durch

.

Weil auf mit der Identität übereinstimmt, können wir es auf durch die Identitätsabbildung stetig fortsetzen und erhalten so einen Homöomorphismus , der als Dehn-Twist an der Kurve c bezeichnet wird.

Anmerkung: Die oben definierte Abbildung hängt von der gewählten Umgebung und der gewählten Parametrisierung ab. Für andere Umgebungen und andere Parametrisierungen bekommt man mit dieser Konstruktion aber zueinander homotope Abbildungen. Die Homotopieklasse (Abbildungsklasse) von ist also wohldefiniert.

Beispiele

Longitude und Meridian des Torus.

Wir identifizieren den Torus mit . Jede Matrix aus entspricht dann einer Selbstabbildung des Torus. (Die Matrix wirkt linear auf und bildet nach ab. Man kann zeigen, dass jeder orientierungserhaltende Homöomorphismus des Torus homotop zu einer solchen Abbildung ist.)

Die Matrizen und entsprechen dann den Dehn-Twists an Longitude und Meridian (also an den Bildern der x- und y-Achse.)

Abbildungsklassengruppe

Die Dehn-Twists an diesen 3g-1 Kurven (hier für g=3) erzeugen die Abbildungsklassengruppe.

Sei die geschlossene, orientierbare Fläche vom Geschlecht und ihre Abbildungsklassengruppe. Für (den Torus) ist und man kann mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus beweisen, dass von den Matrizen und erzeugt wird, also von den Dehn-Twists an Longitude und Meridian. Max Dehn bewies auch für alle , dass die Abbildungsklassengruppe von Dehn-Twists erzeugt wird. Lickorish zeigte, dass die im Bild rechts dargestellten Dehn-Twists die Abbildungsklassengruppe erzeugen. Humphries bewies, dass für die Abbildungsklassengruppe von Dehn-Twists erzeugt wird und dass dies die kleinstmögliche Zahl von Erzeugern ist.

Verallgemeinerte Dehn-Twists

Sei eine symplektische Mannigfaltigkeit und eine Lagrangesche Sphäre. Nach einem Satz von Weinstein gibt es eine Umgebung von , die symplektomorph zu einer Umgebung von im Kotangentialbündel (mit der kanonischen symplektischen Struktur ) ist. Es genügt deshalb, verallgemeinerte Dehn-Twists für Umgebungen von in zu definieren.

Die Funktion ist glatt außerhalb des Null-Schnittes, ihr Hamiltonscher Fluss ist der normalisierte geodätische Fluss. Die Abbildung lässt sich auf den Null-Schnitt fortsetzen, weil alle Geodäten der Länge denselben Endpunkt haben. Die so definierte Abbildung ist ein Symplektomorphismus und man kann sie so modifizieren, dass sie außerhalb einer kompakten Umgebung die Identität ist.[2] Für ist homotop zur Identität, während für (also für Dehn-Twists auf Flächen) die Dehn-Twists unendliche Ordnung in der Abbildungsklassengruppe haben.

Belege

  1. M. Dehn: Die Gruppe der Abbildungsklassen. Das arithmetische Feld auf Flächen. In: Acta Math. 69, no. 1, 1938, S. 135–206.
  2. P. Seidel: Floer homology and the symplectic isotopy problem. Oxford 1997. (www-math.mit.edu; pdf)

Video z​ur Veranschaulichung v​on Dehn-Twists a​uf dem Torus

Literatur

  • Benson Farb, Dan Margalit: A primer on mapping class groups. (= Princeton Mathematical Series. 49). Princeton University Press, Princeton, NJ, 2012, ISBN 978-0-691-14794-9.
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