Dedekinds Prager Satz

Der Prager Satz v​on Richard Dedekind i​st ein Satz d​er Zahlentheorie u​nd Algebra über Polynome, welcher a​m Beginn d​er Abstraktion z​ur Dedekindschen Idealtheorie steht. Es k​ann gezeigt werden, d​ass er g​enau in ganz abgeschlossenen Ringen g​ilt und deshalb m​it dem Gauß’schen Hebungslemma (anwendbar, w​enn im Ring d​er Vierzahlensatz gilt) für normierte Polynome herzuleiten ist.

Aussage

Sind

${\displaystyle b(X)=\sum _{i=1}^{m}{b_{i}X^{i}}}$ und ${\displaystyle c(X)=\sum _{j=1}^{n}{c_{j}X^{j}}}$ Polynome des Polynomrings ${\displaystyle R[X]}$ eines Integritätsrings ${\displaystyle R}$ mit Quotientenkörper ${\displaystyle K}$

und ist ${\displaystyle a|b(X)c(X)}$ für ein ${\displaystyle a\in R}$, so gilt ${\displaystyle a|b_{i}c_{j}}$ für alle ${\displaystyle 0\leq i\leq m,0\leq j\leq n}$.

Mit diesem Satz s​ind folgende Aussagen gleichbedeutend:

1. ${\displaystyle R}$ ist ganz abgeschlossen.

2. In ${\displaystyle R[X]}$ gilt das Gaußsche Hebungslemma für normierte Polynome

Sind ${\displaystyle g,h\in K[X]}$ normierte Polynome mit ${\displaystyle gh=f\in R[X]}$, dann sind ${\displaystyle g,h\in R[X]}$.

Anders formuliert besagt der Satz: Seien f,g Polynome in einer Variablen, deren Koeffizienten algebraische Zahlen sind. Wenn alle Koeffizienten des Produkts ${\displaystyle f\cdot g}$ ganze algebraische Zahlen sind ist das Produkt jedes Koeffizienten von f mit jedem Koeffizienten von g auch eine ganze algebraische Zahl.[1]

Geschichte

Dedekind veröffentlichte den Satz 1892[2] als Verallgemeinerung eines Satzes von Carl Friedrich Gauß (Lemma von Gauß, Disquisitiones Arithmeticae, Artikel 42): Die Polynome f,g in einer Variablen haben rationale Koeffizienten. Wenn die Koeffizienten von f, g nicht alle ganze Zahlen sind, dann können auch die Koeffizienten von ${\displaystyle f\cdot g}$ nicht alle ganze Zahlen sein. Die Bezeichnung Prager Satz rührt daher, dass Dedekind ihn in den Mitteilungen der Deutschen Mathematischen Gesellschaft in Prag veröffentlichte.

Dedekind w​ar nicht bekannt, d​ass Leopold Kronecker d​en Satz s​chon zehn Jahre z​uvor veröffentlicht hatte,[3] allerdings i​n einer s​ehr knappen Form u​nd in obskurer (eigenwilliger) Formulierung (Harold Edwards).[1]

Auch wenn insbesondere Hilbert in seinem Zahlbericht[4] dem (gleichartigen) Hurwitzschen Aufbau der Idealtheorie noch den Vorzug gegeben hat (Dedekinds Prager Satz dient dort dem Nachweis, dass es zu jedem Ideal ${\displaystyle a\neq (0)}$ in einer Maximalordnung eines Zahlkörpers ein Ideal ${\displaystyle b\neq (0)}$ gibt derart, dass ${\displaystyle ab}$ ein Hauptideal ist), spielt Dedekinds Prager Satz in der heutigen Algebra und Zahlentheorie praktisch keine Rolle mehr, da man (in Dedekinds Sinne über E. Noether bis hin zu Grothendieck) heutzutage konzeptionelle Beweise mit abstrakten Prinzipien wie der ganzen Abgeschlossenheit bevorzugt.

Literatur

• Harold Edwards: Divisor Theory, Springer 1990
• Franz Lemmermeyer: Zur Zahlentheorie der Griechen, Teil 2, Mathematische Semesterberichte, Band 55, 2008, S. 181–195

Einzelnachweise

1. Edwards, Divisor Theory, 1990, S. 2
2. Dedekind, Über einen arithmetischen Satz von Gauß, Mitteilungen der Deutschen Mathematischen Gesellschaft Prag, 1892, S. 1–11, Dedekind, Werke, Band 2, S. 28–38
3. Kronecker, Zur Theorie der Formen höherer Stufen, Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften Berlin, 1883, S. 957–960, Kronecker, Werke, Band 2, S. 419–424
4. David Hilbert: Die Theorie der algebraischen Zahlkörper, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, V.4 S.175-546 1897