Concurrence (Quanteninformatik)

Die Concurrence (englisch für „Mitwirkung“, „Übereinstimmung“, „Zusammentreffen“) bezeichnet i​n der Quanteninformatik e​in Maß d​er Verschränkung zweier Qubits. Die Concurrence i​st genau d​ann gleich Null, w​enn ein Zustand separabel i​st und gleich Eins für maximal verschränkte Zustände.

Definition

Die Concurrence ist als Funktion der Dichtematrix ${\displaystyle \rho }$ eines Zustandes definiert als[1][2][3][4]

${\displaystyle {\mathcal {C}}(\rho )\equiv \max(0,\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}-\lambda _{4})\ .}$

Hierbei sind ${\displaystyle \lambda _{1},...,\lambda _{4}}$ die Eigenwerte in absteigender Reihenfolge der hermiteschen Matrix

${\displaystyle R={\sqrt {{\sqrt {\rho }}{\tilde {\rho }}{\sqrt {\rho }}}}}$

mit

${\displaystyle {\tilde {\rho }}=(\sigma _{y}\otimes \sigma _{y})\rho ^{*}(\sigma _{y}\otimes \sigma _{y})}$

dem Spin-geflippten Zustand von ${\displaystyle \rho }$ und der Pauli-Matrix ${\displaystyle \sigma _{y}}$. (Die komplexe Konjugation ${\displaystyle {}^{*}}$ ist in der Eigenbasis von ${\displaystyle \sigma _{z}}$ zu nehmen.) Alternativ stellen die ${\displaystyle \lambda _{i}}$ die Wurzeln der Eigenwerte der nicht-hermiteschen Matrix ${\displaystyle \rho {\tilde {\rho }}}$ dar.[2] Alle ${\displaystyle \lambda _{i}}$ sind hierbei nicht-negative reelle Zahlen.

Für einen reinen Zustand ${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0,0\rangle +\beta |0,1\rangle +\gamma |1,0\rangle +\delta |1,1\rangle }$ vereinfacht sich die Definition zu

${\displaystyle {\mathcal {C}}(|\psi \rangle )=2|\alpha \delta -\beta \gamma |\ .}$

Eigenschaften

Aus d​er Concurrence k​ann die Formationsverschränkung für bipartite Zustände d​urch eine monotone Abbildung berechnet werden. Die Formationsverschränkung i​st aber a​uch für Qubit-Zustände höherer Dimension definiert.

Für reine Zustände ist die Concurrence ein Polynom ${\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )^{\otimes 2}}$ invariant unter den Koeffizienten des Zustandes.[5] Für gemischte Zustände kann die Concurrence als konvexe Fortsetzung definiert werden.[3]

Die Concurrence e​ines Qubits m​it dem Rest e​ines Systems k​ann die Summe d​er Concurrences v​on Qubit-Paaren, z​u denen e​s gehört, n​icht übersteigen.[6][7]

Verallgemeinerung

Die Concurrence kann auf ${\displaystyle d>2}$-dimensionale Systeme verallgemeinert werden.[8][9] Für reine Zustände gilt

${\displaystyle {\mathcal {C}}(|\psi \rangle )={\sqrt {\langle \psi |\psi \rangle -\mathrm {tr} (\rho _{1}^{2})}},}$

wobei ${\displaystyle \rho _{1}=\mathrm {tr} _{2}(|\psi \rangle \langle \psi |)}$ der reduzierte Zustand im ersten der beiden Systeme ist. Für einen gemischten Zustand ${\displaystyle \rho }$ ist ${\displaystyle {\mathcal {C}}(\rho )}$ über eine konvexe Dach-Konstruktion definiert. Anders als im Fall von Qubits ist keine analytische Formel bekannt und es gilt auch nicht mehr, dass die Formationsverschränkung eine monotone Funktion der Concurrence ist.

Eine andere Verallgemeinerung[10] i​st nur für spezielle Zustände definiert. In diesem Fall besteht a​ber der monotone Zusammenhang m​it der Formationsverschränkung weiter.

Einzelnachweise

1. Scott Hill, William K. Wootters: Entanglement of a Pair of Quantum Bits. 1997, arxiv:quant-ph/9703041 .
2. William K. Wootters: Entanglement of Formation of an Arbitrary State of Two Qubits. 1998. doi:10.1103/PhysRevLett.80.2245
3. Roland Hildebrand: Concurrence revisited. 2007, doi:10.1063/1.2795840
4. Ryszard Horodecki, Paweł Horodecki, Michał Horodecki, Karol Horodecki: Quantum entanglement. 2009, doi:10.1103/RevModPhys.81.865
5. D. Ž. Ðoković, A. Osterloh: On polynomial invariants of several qubits. 2009, doi:10.1063/1.3075830
6. Valerie Coffman, Joydip Kundu, William K. Wootters: Distributed entanglement. 2000, doi:10.1103/PhysRevA.61.052306
7. Tobias J. Osborne, Frank Verstraete: General Monogamy Inequality for Bipartite Qubit Entanglement. 2006, doi:10.1103/PhysRevLett.96.220503
8. Armin Uhlmann: Fidelity and Concurrence of conjugated states. In: Phys. Rev. A. Band 62, 2000, S. 032307, doi:10.1103/PhysRevA.62.032307, arxiv:quant-ph/9909060.
9. Pranaw Rungta, V. Bužek, Carlton M. Caves, M. Hillery, and G. J. Milburn: Universal state inversion and concurrence in arbitrary dimensions. In: Phys. Rev. A. Band 64, 2001, S. 042315, doi:10.1103/PhysRevA.64.042315, arxiv:quant-ph/0102040.
10. Shao-Ming Fei et al.: Entanglement of formation for a class of quantum states. 2003 arxiv:quant-ph/0304095.