Closing

Closing (im Deutschen a​uch Schließen) i​st eine morphologische Basis-Operation i​n der digitalen Bildverarbeitung. Anwendung findet d​er Operator b​eim Filtern v​on Bildern; d​urch das Schließen lassen s​ich lokal begrenzte dunkle Störungen i​n einem Bild unterdrücken o​der kleine dunkle Strukturen gezielt herausfiltern. Die z​um Schließen duale Operation i​st das Öffnen. Entsprechend lassen s​ich die Aussagen über d​as Öffnen a​uf das Schließen übertragen. Man interpretiert hierzu d​en Bildhintergrund a​ls Bildvordergrund u​nd umgekehrt. Für Grauwertbilder bedeutet dies, d​ass man für d​ie Helligkeitswerte d​ie Gegenzahl nimmt. Anschließend führt m​an das entsprechend d​uale Öffnen durch, z. B. m​it dem dualen strukturierenden Element, u​nd bildet v​om erhaltenen Ergebnis d​as duale Bild.

Formale Definition

Gegeben sei ein vollständiger Verband ${\displaystyle V}$. Ein Operator ${\displaystyle \varphi }$ auf ${\displaystyle V}$ ist ein (algebraisches) Schließen, wenn für alle ${\displaystyle x,y\in V}$ gilt:

• ${\displaystyle \varphi (x)\geq x}$; d. h. der Operator ist extensiv (das Ergebnis ist „größer“ als das Original)
• ${\displaystyle x\leq y\Rightarrow \varphi (x)\leq \varphi (y)}$; d. h. die Ordnungsstruktur des Verbandes bleibt durch die Operation erhalten.
• ${\displaystyle \varphi \left(\varphi (x)\right)=\varphi (x)}$; d. h. der Operator ist idempotent (ein mehrmaliges Anwenden führt zu keiner weiteren Veränderung des Ergebnisses).

Schließen in der Binärbildmorphologie

Im Fall der Binärbildmorphologie ist der Verband ${\displaystyle V}$ gegeben durch den Potenzmengenverband aller Bildpunkte. Ein Binärbild wird also aufgefasst als Punktmenge. Die ersten beiden der oben genannten Eigenschaften lassen sich dann wie folgt formulieren:

• Durch ein Schließen werden keine Bildpunkte gelöscht, sondern höchstens Punkte hinzugefügt.
• Wenn ein Bild ${\displaystyle y}$ ein Bild ${\displaystyle x}$ als Teilmenge enthält, so gilt, dass nach einem Schließen auch das Ergebnis von ${\displaystyle y}$ das Ergebnis von ${\displaystyle x}$ enthält. Man beachte, dass es sich nicht um echte Teilmengen handeln muss. Daraus folgt u. a., dass zwei unterschiedliche Bilder durch ein Schließen auf dasselbe Bild abgebildet werden können. Ein Schließen ist also i.a. nicht umkehrbar (es wird also Information vollständig gelöscht).

Schließen mittels strukturierendem Element

Ein Spezialfall i​st das Schließen mittels strukturierendem Element. Es i​st wie f​olgt definiert:

${\displaystyle A\bullet X=(A\oplus X)\ominus X}$

Schließen eines Binärbildes mit einem Kreiselement

Es handelt sich also um das nacheinander Ausführen einer Dilatation und einer Erosion auf das Bild ${\displaystyle A}$ jeweils mit demselben strukturierenden Element ${\displaystyle X}$. Durch die Dilatation werden alle Löcher geschlossen, in die das strukturierende Element nicht vollständig hineinpasst. Die anschließende Erosion reduziert das Bild wieder so weit, dass es möglichst nahe an das Original herankommt. Die durch die Dilatation vollständig geschlossenen Löcher entstehen dabei nicht mehr. Nur teilweise geschlossene Löcher werden wieder aufgeweitet.

Mit dem Bild ${\displaystyle A}$ bzw. ${\displaystyle B}$ und dem strukturierenden Element ${\displaystyle X}$ können die Eigenschaften des Schließens folgendermaßen beschrieben werden:

• ${\displaystyle A\subseteq A\bullet B}$ (extensiv)
• ${\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow A\bullet X\subseteq B\bullet X}$ (Erhalt der Ordnungsstruktur)
• ${\displaystyle (A\bullet X)\bullet X=A\bullet X}$ (idempotent)

Wenn der Operator ${\displaystyle \circ }$ das Öffnen bezeichnet, kann die Dualität zum Schließen wie folgt geschrieben werden:

${\displaystyle A\bullet X=(A^{c}\circ X^{c})^{c}}$

Schließen in der Grauwertmorphologie

Im Fall der Grauwertmorphologie ist der Verband ${\displaystyle V}$ die Menge aller Funktionen ${\displaystyle D\mapsto \mathbb {R} }$. Formal benötigt man für die Definition (um einen vollständigen Verband zu erhalten) die Werte -∞ und +∞. In der Praxis von Bedeutung ist allerdings nur den Fall von diskretem, endlichen Definitions und Wertebereich.

Die allgemeinen Eigenschaften d​es Öffnens werden d​ann wie f​olgt dargestellt:

• ${\displaystyle \varphi (f(x))\geq f(x)}$; ${\displaystyle \forall x\in D}$ (kein Bildpunkt erhält einen Wert, der kleiner ist als das Original, d. h. das Bild wird an keinem Punkt dunkler)
• ${\displaystyle f(x)\leq g(x)\Rightarrow \varphi (f(x))\leq \varphi (g(x))}$; ${\displaystyle \forall x\in D}$ (wenn ein Bild ${\displaystyle f}$ an jedem Punkt nicht heller ist als ein zweites Bild ${\displaystyle g}$, so ist das geschlossene Bild ${\displaystyle \varphi (f(x))}$ auch an keinem Punkt heller als ${\displaystyle \varphi (g(x))}$)

Siehe auch

• Opening
• Erosion
• Dilatation

Literatur

• Image Processing and Mathematical Morphology. Jean Serra. Academic Press, London, 1982
• Image Processing and Mathematical Morphology, Part II: Theoretical Advances. Jean Serra. Academic Press, London, 1988
• Methoden der digitalen Bildsignalverarbeitung. Piero Zamperoni, Vieweg Verlag, 1989
• Granulometrien in der Grauwertmorphologie. Martin Pfeiffer. Shaker Verlag Aachen, 1999. ISBN 3-8265-4784-5