Chabauty-Topologie

In d​er Mathematik i​st die Chabauty-Topologie e​ine Topologie a​uf dem Raum d​er abgeschlossenen Untergruppen e​iner topologischen Gruppe.

Definition

Für eine topologische Gruppe ${\displaystyle G}$ sei ${\displaystyle Sub(G)}$ die Menge ihrer abgeschlossenen Untergruppen. Die Chabauty-Topologie wird erzeugt von allen Mengen der Form

${\displaystyle O_{1}(K):=\left\{H\in Sub(G)\colon H\cap K=\emptyset \right\}}$ für eine kompakte Menge ${\displaystyle K\subset G}$

und

${\displaystyle O_{2}(U):=\left\{H\in Sub(G)\colon H\cap U\not =\emptyset \right\}}$ für eine offene Menge ${\displaystyle U\subset G}$.

Die offenen Mengen der Chabauty-Topologie sind also die Vereinigungen von endlichen Durchschnitten aus Mengen der Form ${\displaystyle O_{1}(K)}$ oder ${\displaystyle O_{2}(U)}$.

Konvergenz

Eine Folge abgeschlossener Untergruppen ${\displaystyle H_{n}\in Sub(G)}$ konvergiert genau dann gegen ${\displaystyle H\in Sub(G)}$, wenn

• für jedes ${\displaystyle x\in H}$ eine Folge von Elementen ${\displaystyle x_{n}\in H_{n}}$ mit ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x}$ existiert
• für jede Folge von Elementen ${\displaystyle x_{n}\in H_{n}}$ jeder Häufungspunkt in ${\displaystyle H}$ liegt.

Beispiel: in ${\displaystyle G=\mathbb {R} }$ konvergiert die Folge ${\displaystyle H_{n}={\frac {1}{n}}\mathbb {Z} }$ gegen ${\displaystyle H=\mathbb {R} }$, während die Folge ${\displaystyle H_{n}=n\mathbb {Z} }$ gegen ${\displaystyle H=\left\{0\right\}}$ konvergiert.

Literatur

• Claude Chabauty: Limite d'ensembles et géométrie des nombres. Bulletin de la Société Mathématique de France, 78 143-151 (1950)

Weblinks

• Pierre de la Harpe: Spaces of closed subgroups of locally compact groups