Cauchy-Formel für mehrfache Integration

Mit der Cauchy-Formel für mehrfache Integration, benannt nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy,[1][2] können gewisse ${\displaystyle n}$-te iterierte Integrale einer Funktion in einem einzigen Integral ausgedrückt werden.

Cauchys Formel

Sei ${\displaystyle f}$ eine stetige Funktion auf der reellen Achse.

Dann ist das ${\displaystyle n}$-te iterierte Integral von ${\displaystyle f}$ am Punkt ${\displaystyle x}$

${\displaystyle I^{n}(x)=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n-1}}f(\sigma _{n})\,\mathrm {d} \sigma _{n}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}}$

durch d​as folgende Integral gegeben:[3]

${\displaystyle I^{n}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t}$.

Beweis

Den Beweis erreicht man durch vollständige Induktion. Da ${\displaystyle f}$ stetig ist, kann man den Induktionsanfang mit dem Fundamentalsatz der Analysis herleiten.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}I^{1}(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t=f(x)}$;

wobei

${\displaystyle I^{1}(a)=\int _{a}^{a}f(t)\,\mathrm {d} t=0}$.

Nehmen wir an, die Formel ist richtig für ${\displaystyle n}$. Nun gilt es zu beweisen, dass die Formel für ${\displaystyle n+1}$ stimmt.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t}$

Die Ableitung d​es Integrals k​ann man m​it der Leibniz-Regel herleiten.

${\displaystyle {\begin{aligned}I^{n+1}(x)&=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \sigma _{1}}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\end{aligned}}}$

Der Beweis i​st damit abgeschlossen.

Riemann-Liouville-Integral

Cauchys Formel gilt nur für natürliche Zahlen, weil die Fakultät nur für diese definiert ist. Das Riemann-Liouville-Integral erlaubt die mehrfache Integration nicht nur für die reellen, sondern auch für die komplexen Zahlen, indem man ${\displaystyle (n-1)!}$ durch ${\displaystyle \Gamma (n)}$ ersetzt, wobei ${\displaystyle \Gamma }$ die Gammafunktion bezeichnet:

${\displaystyle I^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}f(t)(x-t)^{\alpha -1}\,dt}$.

Der Name w​urde von Marcel Riesz[4] i​n Anerkennung d​er Pionierarbeiten v​on Joseph Liouville[5] u​nd Bernhard Riemann[6] gewählt.[2]

Anwendungen

Mit ein paar Umformungsschritten ist es möglich auch eine Formel für die ${\displaystyle \alpha }$-te Ableitung zu finden.

Hier finden s​ich auch u​nter anderem Anwendungen w​ie zum Beispiel i​n der:

• Elektrochemie
• Rheologie
• Physik (Tautochron Problem)

Weblinks

• Alan Beardon: Fractional calculus II. University of Cambridge. 2000.
• https://www.math.uni-bielefeld.de/~emmrich/studenten/dimitri.pdf
• https://www.inm.uni-stuttgart.de/institut/mitarbeiter/hinze/papers/Diplomarbeit_hinze.pdf

Einzelnachweise

1. Augustin Louis Cauchy: Trente-Cinquième Leçon. In: Résumé des leçons données à l’Ecole royale polytechnique sur le calcul infinitésimal. Imprimerie Royale, Paris 1823, S. 133–140. Nachdruck in: Œuvres complètes II(4), Gauthier-Villars, Paris, S. 5–261.
2. Stéphane Dugowson: Élaboration par Riemann d'une définition de la dérivation d'ordre non entier. In: Revue d’histoire des mathématiques 3, 1997, S. 49–97.
3. Gerald B. Folland: Advanced Calculus. Prentice Hall 2002, S. 193, ISBN 0-13-065265-2.
4. Marcel Riesz: L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy. In: Acta Mathematica 81(1), 1949, S. 1–223, doi:10.1007/BF02395016.
5. Joseph Liouville: Mémoire sur quelques questions de géométrie et de mécanique, et sur un nouveau genre de calcul pour résoudre ces questions. Journal de l'École Polytechnique 13, S. 71–162, Paris 1832.
6. Georg Friedrich Bernhard Riemann: Versuch einer allgemeinen Auffassung der Integration und Differentiation. 1847. In: Heinrich Weber (Hrsg.): Gesammelte Mathematische Werke. Leipzig 1896.