Catalansche Vermutung

Die catalansche Vermutung ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Sie geht von der Beobachtung aus, dass man außer den Potenzen und keine weiteren ganzzahligen Potenzen kennt, die sich um genau 1 unterscheiden. Eugène Charles Catalan stellte 1844 die nach ihm benannte catalansche Vermutung auf, wonach es keine weiteren echten Potenzen mit dieser Eigenschaft gibt:

Die einzige ganzzahlige Lösung der Gleichung mit lautet , , und .

Erst nach über 150 Jahren wurde diese Vermutung 2002 von Preda Mihăilescu an der Universität Paderborn bewiesen.

Geschichte

Schon vor Catalan beschäftigte man sich mit verwandten Problemen. Um 1320 bewies Levi ben Gershon:

Wenn Potenzen von 2 und 3 sich um 1 unterscheiden, dann sind 8 und 9 die einzigen Lösungen.

Leonhard Euler (1707–1783) zeigte, dass es für nur die Lösung und gibt.

Catalans Vermutung verallgemeinert Eulers Gleichung auf allgemeine Potenzen. Seine Vermutung wurde 1844 im Journal für die reine und angewandte Mathematik als Leserbrief veröffentlicht.[1]

Später fand man einige interessante Teilergebnisse für den Fall, dass Catalans Behauptung nicht zutrifft, d. h., dass es weitere nichttriviale Lösungen der Gleichung gibt.

So zeigte 1976 Robert Tijdeman, dass höchstens endlich viele Zahlen die Gleichung erfüllen.

1998 zeigte Ray Steiner folgende Eigenschaft für eine mögliche Lösung: Entweder und erfüllen gewisse Teilbarkeitsbedingungen (class number condition) oder und sind doppelte Wieferich-Primzahlen, d. h., sie genügen der Bedingung

und

Maurice Mignotte gab im Jahr 2000 eine obere Grenze für Lösungen und an: .

Im April 2002 gelang dem damals an der Universität Paderborn beschäftigten Preda Mihăilescu schließlich der Beweis der catalanschen Vermutung, womit diese den Status eines mathematischen Satzes erhielt.

Verallgemeinerung

Man kann die mittlerweile bewiesene catalansche Vermutung erweitern, indem man die Gleichung

mit natürlichen

betrachtet. Es wird vermutet, dass auch diese Gleichung für alle nur endlich viele Lösungen hat, dass es also für jede natürliche Zahl nur endlich viele Paare von ganzzahligen Potenzen gibt, deren Differenz ist.

Für sieht die Anzahl der Lösungen so aus:

00010203040506070809 10111213141516171819 20212223242526272829 30313233343536373839 40414243444546474849 50515253545556575859 60616263646566676869 70717273747576777879 80818283848586878889 90919293949596979899
011232.5341423.3373522245233711242.3231443.1341643.2122343.142.444.252.4462332.444.222.336.344245324
100103.2442343.286.356345312421362.222.73213241455153213531332.3462244125514313432.251.25222351463143234
20052.232.1253.2321576223212613.222.4251432.4623443.2432362.462.2342142.2231464.523.44411442363.2322241013
30033.332.532.244.6911262.243.324.216236213331724213124451354.4812342221141322.525.14311741462.452.242.4
40042.2361244.2323362.142.654.314.977.412.266.232.3103.332.543.831.254.134.422.454.194.41412331132.77412
5003219753451.466.3831345.136.371.422.524.352.26313541444.424.364.2221581.13214102.23213261343.235143322
600822344.154.251.54331343365.422.423.3331761.154.2106.421.365.341.5251322.38326711355.2521252.1261264.2
70032337422211434.43324105.223126512511744.244.2541432.253.554.452.2362483.23111344.2432473.112.373.422.2
8007422641342.13312641722.236.1102.46612641183.22329342221.663.224.2822352.2311.73113613126.37327721474.4
90064.4221123.1632423.353.253.552164215821351.289.123.3432214.31121382.35414451843.2841163.442.362.242.10
100056.224.497.221.584.141.56131324.451.642.16312441261.247.48512513244.22321132.613.3941444.21242251.44412
110084.2642531.3242351.282.1371342.412.353.2431562.254.2133.822.356132213541315.36323211345.473.263.22814
120094.32223661322.883.22412971221136414511544.234.2831332.23314731364.3161342.64113841133.852.2221594.3
130041.27111124.553.442.3833724.3621433.42513342410212222345.2431363.238.263.233.566124113432323.374.633.2
140073.472.472.256.24414251356.141.652.43219133.433.256.242.4642132.543.342.192.4424542.1210.362.4111442.3
15007217441222.3105.423.668113512221234131132643.224.462.452132324831242.273.134.922.324.211423521335.541.4
160092.3552652.531.437.153.345.134.486.4411442.2242855.22413631422.21073261.245.514141221613.32312922452.2
170048.455.231.283.4421782.187.9108.241.3711.241.46411242343.954.4831572.4421444.564.2223229.251131421233.3
1800941235.359.353.633125213831643.135.352.274.236.28213222652.341.7231214.11331531.2571324.454.223.25515
1900911385.345.632.24413143.4263332.3411642.223.3921432.5463633.38422343363.641.4531173.262.1761455281217
2000105.1221425.124.51341233.4611.262.344.4642392.642.463.362.623142421651433.753.332.983.134.2912.424.23411
210074.2431444.21011642.445.335.261.136.4511422.448.2323522.35313152142423661333.674144313972473.345.34212
220076.1510.283.4311422.342.774.222.385.622.11181142.5243113.4641444.334.164.252.737.291.24212761241.973.3
23004415126.221.183.2221263.226.2421621.244.172.455.12511210314232263.234168321341881.441.247.4211342.224.1
24001351644.344.1331852.243.244.312.572.243.382.234.3106.413.3310.353.2843262.25321121.363.355.242.24412133.7
250063.224.342.6451322131332333.453.3221635.126.262137211441453.2102.338434312132694.242.855.232.2114.433.2
260095.242.434.315.251.532.378.284.451142414124.2232332.343.671.152.285.422.248.422.4642144.1121.641.945.4
270083.562.367.153.446.284.2251661.122.51061441.458.231155314221283.435.144.273.82322443482.241.439.422.6
280093.128.393.233.31010.144.324.225.364210311442.1721444.1631291.34225452223.654.634.21632452.17515231543.2
290052.2742642.294.461.453.229.266.2121324.1721464.2221363.421.4672142.54411121885.333.325.333.364.32811
300091.84212114.24211043.135.21313.212.248124113931238.342.922.443.472.442.137.41041632.295.1221863.213.28422
310062.3681243.523.44322124.353.265.382.99122242244.2332443.3242852.234.3122.542.374.442.36101212.1831632.3
320094.1421224.328.362.4412347.232.752.23414114.424.366125118541432.21032852.32217821574.426.34512233244.2
330071.342.112.5951812.145.1261273.31251445.7321464.1532323.465.2161.4221643.22218722236.393.241.387.422.4
340062.2341362.311.345.393.643.2451482.42312741254.325.412121421241.2312.2331883.43424912645.245.132.553.1
350054.263.4341224242216112.22612101.431.465.141.334.21614851621.152.264.553.324.645.32122104.353.972.244.4
3600164.254.2442241.543.544.6551623.335.351.4821128.2122.243.535.142.984.322.4921931.3941334.236.1321213114
370042.528.24312661247.28115332244.4412752126413124.3322369.225.563.224.1511434.5521183.454.224.271.831.3
380084.132.1694.324.4751421.269.242.2222542.2153.67211421133.445.229.283.2222372.451.374221826103.232.4136.2
390082.265.122.145.923.193.253.833.237.384.4341254.142.3103.43413144122417712.422.854.33314621321.225.55314
400082.156.1431423143412422526.124.7175.4231245.232.481211413621652.3551543.441.325.1144.214.854.2521147422
410092.4115133211104.442.253.418.183.651.244.183.5641426.342.621.3125.2661542.234.3103.442.349.222.544231315
42001231414.334.15324441276.4126.231.245.733.57211242374.412.4861141.845.232.362.924.443.163.271.2552341.2
430034.448.423.6133.232.2163.453.1313.333.842.1521245.94114112.592.345.146.2125.4111545.253.453.238.2721441.2
4400127.423.551.222.51043351.257.263.53412171382.235.442.242.1023162212144.212.3761344.31210.1281381.312.452.3
450084.424.1551485.8112354.1441564.22313134.422.4781121.4331528.31322844.1341452.683.253.344.4232283.22267
460082.124.3142.412.438.381.468.222.254.642.1108.152.2421227.763.2221254.22414121.842.1133.452.2441253.53622
470032111221442.342.433.763.1113.252.4422273.242.1034.222.3126.422.184.222.454.444.4631622.169.272.352.45618
48001521225.554.3321683.3221467.532.16512421265.228.2631922.223.371.2104.3341294.9221563.2424461.334.4133.4
490074.24822223353.334.295144412105.141.831.2461277.415.224.251.785.2641392.321.84102242.5522142151232832.1
500062.138125311231492.423224612421774.5241218225321648.2321594.244.352.4531244.752.441.4462285.322.673.1

Es gibt für etliche (wahrscheinlich) gar keine Lösungen, für andere gibt es eine oder wenige Lösungen, die sich auf kleine konzentrieren. Die Anzahl der Lösungen steigt langsam an für größere . Die folgende Tabelle enthält 's mit bis dahin der meisten Anzahl von Lösungen der Gleichung . Für gibt es wie bewiesen genau eine Lösung. Für größere handelt es sich die Anzahl bei der Suche bis gefundenen Lösungen.

Kleinste mit der jeweils bis dahin maximale Anzahl an Lösungen für
Anzahl der
Lösungen
größte Lösung für dieses
Zahlen Potenzen
0001019 − 8
000302128 − 125
000403125 − 121
00070532768 − 32761
001707143384152921 − 143384152904
01001018821096100 − 18821096000
02071249757256774842616 − 49757256774842409
022513373425320872841769 − 373425320872841544
179214426959569 − 426957777
21601533076161 − 33074001
288016592704 − 589824
40321711728027648 − 11728023616
5040181590121 − 1585081
4032036101626561 − 101586241

Insbesondere für kleine findet man Lösungen für kleine , darüber nimmt die Anzahl von Lösungen extrem schnell ab. Höhere Potenzen als sind selten.

Die jeweils größten Koeffizienten
ZahlenPotenzen
00019 − 8
000227 – 25
0003128 – 125
000732768 – 32761
000897344 – 97336
00151295044 – 1295029
0017143384152921 – 143384152904
0024542939080336 – 542939080312
020749757256774842616 – 49757256774842409
0225373425320872841769 – 373425320872841544
0307830019507530916403 – 830019507530916096
109022395604561459400005641 – 22395604561459400004551
85691359566275032953673149025 - 1359566275032953673140456

Die folgende Liste gibt bis alle Lösungen dieser Gleichung an, wobei ist. Der größe dabei auftretende Wert für ist in , im Bereich von bis sind für keine weiteren Lösungen zu finden.[2]

Weitere Verallgemeinerung

Man kann diese Verallgemeinerung weiter verallgemeinern und landet mit

und

bei der Pillai-Vermutung.

Literatur

  • Preda Mihailescu: Primary cyclotomic units and a proof of Catalan's conjecture. J. Reine Angew. Math. 572 (2004), S. 167–195
  • Christoph Pöppe: Der Beweis der Catalan'schen Vermutung. In: Omega. Das Magazin für Mathematik, Logik und Computer. (Spektrum der Wissenschaft Spezial 4/2003) Spektrumverlag, Heidelberg 2003, S. 64–67
  • Yuri Bilu: Catalan´s Conjecture (after Mihailescu). Seminaire Bourbaki, Nr. 909, 2002, (PDF).
  • Jeanine Daems: A Cyclotomic Proof of Catalan´s Conjecture. Diplomarbeit, Universität Leiden 2003, (PDF).
  • Maurice Mischler, Jacques Boéchat zur Catalan Vermutung, französisch (Arxiv).
  • Henri Cohen zum Beweis der Catalan Vermutung, französisch (Online).

Einzelnachweise

  1. Eugène Charles Catalan: Note extraite d'une lettre adressée à l'éditeur par Mr. E. Catalan, Répétiteur à l'école polytechnique de Paris. Journal für die reine und angewandte Mathematik 27, 192. 1844 (Scan des Originals online) (abgerufen am 16. April 2019)
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