Catalansche Vermutung

Die catalansche Vermutung ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Sie geht von der Beobachtung aus, dass man außer den Potenzen $2^{3}=8$ und $3^{2}=9$ keine weiteren ganzzahligen Potenzen kennt, die sich um genau 1 unterscheiden. Eugène Charles Catalan stellte 1844 die nach ihm benannte catalansche Vermutung auf, wonach es keine weiteren echten Potenzen mit dieser Eigenschaft gibt:

Die einzige ganzzahlige Lösung der Gleichung

a^{p}-b^{q}=1

mit

a,b,p,q>1

lautet

a=3

,

p=2

,

b=2

und

q=3

.

Erst nach über 150 Jahren wurde diese Vermutung 2002 von Preda Mihăilescu an der Universität Paderborn bewiesen.

Geschichte

Schon vor Catalan beschäftigte man sich mit verwandten Problemen. Um 1320 bewies Levi ben Gershon:

Wenn Potenzen von 2 und 3 sich um 1 unterscheiden, dann sind 8 und 9 die einzigen Lösungen.

Leonhard Euler (1707–1783) zeigte, dass es für $a^{2}-b^{3}=1$ nur die Lösung $a=3$ und $b=2$ gibt.

Catalans Vermutung verallgemeinert Eulers Gleichung auf allgemeine Potenzen. Seine Vermutung wurde 1844 im Journal für die reine und angewandte Mathematik als Leserbrief veröffentlicht.[1]

Später fand man einige interessante Teilergebnisse für den Fall, dass Catalans Behauptung nicht zutrifft, d. h., dass es weitere nichttriviale Lösungen der Gleichung gibt.

So zeigte 1976 Robert Tijdeman, dass höchstens endlich viele Zahlen die Gleichung erfüllen.

1998 zeigte Ray Steiner folgende Eigenschaft für eine mögliche Lösung: Entweder $p$ und $q$ erfüllen gewisse Teilbarkeitsbedingungen (class number condition) oder $p$ und $q$ sind doppelte Wieferich-Primzahlen, d. h., sie genügen der Bedingung

p^{q-1}\equiv 1\ {\rm {mod}}\ q^{2}

und

q^{\;\!p-1}\equiv 1\ {\rm {mod}}\ p^{2}

Maurice Mignotte gab im Jahr 2000 eine obere Grenze für Lösungen $q$ und $p$ an: $q<7{,}15\cdot 10^{11},\ p<7{,}78\cdot 10^{16}$ .

Im April 2002 gelang dem damals an der Universität Paderborn beschäftigten Preda Mihăilescu schließlich der Beweis der catalanschen Vermutung, womit diese den Status eines mathematischen Satzes erhielt.

Verallgemeinerung

Man kann die mittlerweile bewiesene catalansche Vermutung erweitern, indem man die Gleichung

a^{p}-b^{q}=n

mit natürlichen

a,b>0,\ p,q,n>1

betrachtet. Es wird vermutet, dass auch diese Gleichung für alle $a,b>0,\ p,q,n>1$ nur endlich viele Lösungen hat, dass es also für jede natürliche Zahl $n\in \mathbb {N} ^{+}$ nur endlich viele Paare von ganzzahligen Potenzen gibt, deren Differenz $n$ ist.

Für $1\leq n<5100$ sieht die Anzahl der Lösungen so aus:

	00	01	02	03	04	05	06	07	08	09	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99

0		1	1	2	3	2	.	5	3	4	1	4	2	3	.	3	3	7	3	5	2	2	2	4	5	2	3	3	7	1	1	2	4	2	.	3	2	3	1	4	4	3	.	1	3	4	1	6	4	3	.	2	1	2	2	3	4	3	.	1	4	2	.	4	4	4	.	2	5	2	.	4	4	6	2	3	3	2	.	4	4	4	.	2	2	2	.	3	3	6	.	3	4	4	2	4	5	3	2	4
100	10	3	.	2	4	4	2	3	4	3	.	2	8	6	.	3	5	6	3	4	5	3	1	2	4	2	1	3	6	2	.	2	2	2	.	7	3	2	1	3	2	4	1	4	5	5	1	5	3	2	1	3	5	3	1	3	3	2	.	3	4	6	2	2	4	4	1	2	5	5	1	4	3	1	3	4	3	2	.	2	5	1	.	2	5	2	2	2	3	5	1	4	6	3	1	4	3	2	3	4
200	5	2	.	2	3	2	.	12	5	3	.	2	3	2	1	5	7	6	2	2	3	2	1	2	6	13	.	2	2	2	.	4	2	5	1	4	3	2	.	4	6	2	3	4	4	3	.	2	4	3	2	3	6	2	.	4	6	2	.	2	3	4	2	1	4	2	.	2	2	3	1	4	6	4	.	5	2	3	.	4	4	4	1	1	4	4	2	3	6	3	.	2	3	2	2	2	4	10	1	3
300	3	3	.	3	3	2	.	5	3	2	.	2	4	4	.	6	9	1	1	2	6	2	.	2	4	3	.	3	2	4	.	2	1	6	2	3	6	2	1	3	3	3	1	7	2	4	2	1	3	1	2	4	4	5	1	3	5	4	.	4	8	1	2	3	4	2	2	2	11	4	1	3	2	2	.	5	2	5	.	1	4	3	1	1	7	4	1	4	6	2	.	4	5	2	.	2	4	2	.	4
400	4	2	.	2	3	6	1	2	4	4	.	2	3	2	3	3	6	2	.	1	4	2	.	6	5	4	.	3	1	4	.	9	7	7	.	4	1	2	.	2	6	6	.	2	3	2	.	3	10	3	.	3	3	2	.	5	4	3	.	8	3	1	.	2	5	4	.	1	3	4	.	4	2	2	.	4	5	4	.	1	9	4	.	4	1	4	1	2	3	3	1	1	3	2	.	7	7	4	1	2
500	3	2	1	9	7	5	3	4	5	1	.	4	6	6	.	3	8	3	1	3	4	5	.	1	3	6	.	3	7	1	.	4	2	2	.	5	2	4	.	3	5	2	.	2	6	3	1	3	5	4	1	4	4	4	.	4	2	4	.	3	6	4	.	2	2	2	1	5	8	1	.	1	3	2	1	4	10	2	.	2	3	2	1	3	2	6	1	3	4	3	.	2	3	5	1	4	3	3	2	2
600	8	2	2	3	4	4	.	1	5	4	.	2	5	1	.	5	4	3	3	1	3	4	3	3	6	5	.	4	2	2	.	4	2	3	.	3	3	3	1	7	6	1	.	1	5	4	.	2	10	6	.	4	2	1	.	3	6	5	.	3	4	1	.	5	2	5	1	3	2	2	.	3	8	3	2	6	7	1	1	3	5	5	.	2	5	2	1	2	5	2	.	1	2	6	1	2	6	4	.	2
700	3	2	3	3	7	4	2	2	2	1	1	4	3	4	.	4	3	3	2	4	10	5	.	2	2	3	1	2	6	5	1	2	5	1	1	7	4	4	.	2	4	4	.	2	5	4	1	4	3	2	.	2	5	3	.	5	5	4	.	4	5	2	.	2	3	6	2	4	8	3	.	2	3	1	1	13	4	4	.	2	4	3	2	4	7	3	.	1	1	2	.	3	7	3	.	4	2	2	.	2
800	7	4	2	2	6	4	1	3	4	2	.	1	3	3	1	2	6	4	1	7	2	2	.	2	3	6	.	1	10	2	.	4	6	6	1	2	6	4	1	1	8	3	.	2	2	3	2	9	3	4	2	2	2	1	.	6	6	3	.	2	2	4	.	2	8	2	2	3	5	2	.	2	3	11	.	7	3	1	1	3	6	1	3	1	2	6	.	3	7	3	2	7	7	2	1	4	7	4	.	4
900	6	4	.	4	2	2	1	1	2	3	.	1	6	3	2	4	2	3	.	3	5	3	.	2	5	3	.	5	5	2	1	6	4	2	1	5	8	2	1	3	5	1	.	2	8	9	.	1	2	3	.	3	4	3	2	2	1	4	.	3	11	2	1	3	8	2	.	3	5	4	1	4	4	5	1	8	4	3	.	2	8	4	1	1	6	3	.	4	4	2	.	3	6	2	.	2	4	2	.	10

1000	5	6	.	2	2	4	.	4	9	7	.	2	2	1	.	5	8	4	.	1	4	1	.	5	6	13	1	3	2	4	.	4	5	1	.	6	4	2	.	1	6	3	1	2	4	4	1	2	6	1	.	2	4	7	.	4	8	5	1	2	5	1	3	2	4	4	.	2	2	3	2	11	3	2	.	6	1	3	.	3	9	4	1	4	4	4	.	2	12	4	2	2	5	1	.	4	4	4	1	2
1100	8	4	.	2	6	4	2	5	3	1	.	3	2	4	2	3	5	1	.	2	8	2	.	1	3	7	1	3	4	2	.	4	1	2	.	3	5	3	.	2	4	3	1	5	6	2	.	2	5	4	.	2	13	3	.	8	2	2	.	3	5	6	1	3	2	2	1	3	5	4	1	3	1	5	.	3	6	3	2	3	2	1	1	3	4	5	.	4	7	3	.	2	6	3	.	2	2	8	1	4
1200	9	4	.	3	2	2	2	3	6	6	1	3	2	2	.	8	8	3	.	2	2	4	1	2	9	7	1	2	2	1	1	3	6	4	1	4	5	1	1	5	4	4	.	2	3	4	.	2	8	3	1	3	3	2	.	2	3	3	1	4	7	3	1	3	6	4	.	3	1	6	1	3	4	2	.	6	4	1	1	3	8	4	1	1	3	3	.	8	5	2	.	2	2	2	1	5	9	4	.	3
1300	4	1	.	2	7	11	1	1	2	4	.	5	5	3	.	4	4	2	.	3	8	3	3	7	2	4	.	3	6	2	1	4	3	3	.	4	2	5	1	3	3	4	2	4	10	2	1	2	2	2	2	3	4	5	.	2	4	3	1	3	6	3	.	2	3	8	.	2	6	3	.	2	3	3	.	5	6	6	1	2	4	1	1	3	4	3	2	3	2	3	.	3	7	4	.	6	3	3	.	2
1400	7	3	.	4	7	2	.	4	7	2	.	2	5	6	.	2	4	4	1	4	2	5	1	3	5	6	.	1	4	1	.	6	5	2	.	4	3	2	1	9	13	3	.	4	3	3	.	2	5	6	.	2	4	2	.	4	6	4	2	1	3	2	.	5	4	3	.	3	4	2	.	1	9	2	.	4	4	2	4	5	4	2	.	1	2	10	.	3	6	2	.	4	1	1	1	4	4	2	.	3
1500	7	2	1	7	4	4	1	2	2	2	.	3	10	5	.	4	2	3	.	6	6	8	1	1	3	5	1	2	2	2	1	2	3	4	1	3	11	3	2	6	4	3	.	2	2	4	.	4	6	2	.	4	5	2	1	3	2	3	2	4	8	3	1	2	4	2	.	2	7	3	.	1	3	4	.	9	2	2	.	3	2	4	.	2	11	4	2	3	5	2	1	3	3	5	.	5	4	1	.	4
1600	9	2	.	3	5	5	2	6	5	2	.	5	3	1	.	4	3	7	.	1	5	3	.	3	4	5	.	1	3	4	.	4	8	6	.	4	4	1	1	4	4	2	.	2	2	4	2	8	5	5	.	2	2	4	1	3	6	3	1	4	2	2	.	2	10	7	3	2	6	1	.	2	4	5	.	5	1	4	1	4	12	2	1	6	1	3	.	3	2	3	1	2	9	2	2	4	5	2	.	2
1700	4	8	.	4	5	5	.	2	3	1	.	2	8	3	.	4	4	2	1	7	8	2	.	1	8	7	.	9	10	8	.	2	4	1	.	3	7	11	.	2	4	1	.	4	6	4	1	1	2	4	2	3	4	3	.	9	5	4	.	4	8	3	1	5	7	2	.	4	4	2	1	4	4	4	.	5	6	4	.	2	2	2	3	2	2	9	.	2	5	1	1	3	14	2	1	2	3	3	.	3
1800	9	4	1	2	3	5	.	3	5	9	.	3	5	3	.	6	3	3	1	2	5	2	1	3	8	3	1	6	4	3	.	1	3	5	.	3	5	2	.	2	7	4	.	2	3	6	.	2	8	2	1	3	2	2	2	6	5	2	.	3	4	1	.	7	2	3	1	2	1	4	.	1	13	3	1	5	3	1	.	2	5	7	1	3	2	4	.	4	5	4	.	2	2	3	.	2	5	5	1	5
1900	9	1	1	3	8	5	.	3	4	5	.	6	3	2	.	2	4	4	1	3	14	3	.	4	2	6	3	3	3	2	.	3	4	1	1	6	4	2	.	2	2	3	.	3	9	2	1	4	3	2	.	5	4	6	3	6	3	3	.	3	8	4	2	2	3	4	3	3	6	3	.	6	4	1	.	4	5	3	1	1	7	3	.	2	6	2	.	1	7	6	1	4	5	5	2	8	1	2	1	7

2000	10	5	.	1	2	2	1	4	2	5	.	1	2	4	.	5	13	4	1	2	3	3	.	4	6	11	.	2	6	2	.	3	4	4	.	4	6	4	2	3	9	2	.	6	4	2	.	4	6	3	.	3	6	2	.	6	2	3	1	4	2	4	2	1	6	5	1	4	3	3	.	7	5	3	.	3	3	2	.	9	8	3	.	1	3	4	.	2	9	12	.	4	2	4	.	2	3	4	1	1
2100	7	4	.	2	4	3	1	4	4	4	.	2	10	1	1	6	4	2	.	4	4	5	.	3	3	5	.	2	6	1	.	1	3	6	.	4	5	1	1	4	2	2	.	4	4	8	.	2	3	2	3	5	2	2	.	3	5	3	1	3	15	2	1	4	2	4	2	3	6	6	1	3	3	3	.	6	7	4	1	4	4	3	1	3	9	7	2	4	7	3	.	3	4	5	.	3	4	2	1	2
2200	7	6	.	1	5	10	.	2	8	3	.	4	3	1	1	4	2	2	.	3	4	2	.	7	7	4	.	2	2	2	.	3	8	5	.	6	2	2	.	1	11	8	1	1	4	2	.	5	2	4	3	1	1	3	.	4	6	4	1	4	4	4	.	3	3	4	.	1	6	4	.	2	5	2	.	7	3	7	.	2	9	1	.	2	4	2	1	2	7	6	1	2	4	1	.	9	7	3	.	3
2300	4	4	1	5	12	6	.	2	2	1	.	1	8	3	.	2	2	2	1	2	6	3	.	2	2	6	.	2	4	2	1	6	2	1	.	2	4	4	.	1	7	2	.	4	5	5	.	1	2	5	1	12	10	3	1	4	2	3	2	2	6	3	.	2	3	4	1	6	8	3	2	1	3	4	1	8	8	1	.	4	4	1	.	2	4	7	.	4	2	1	1	3	4	2	.	2	2	4	.	1
2400	13	5	1	6	4	4	.	3	4	4	.	1	3	3	1	8	5	2	.	2	4	3	.	2	4	4	.	3	1	2	.	5	7	2	.	2	4	3	.	3	8	2	.	2	3	4	.	3	10	6	.	4	1	3	.	3	3	10	.	3	5	3	.	2	8	4	3	2	6	2	.	2	5	3	2	11	2	1	.	3	6	3	.	3	5	5	.	2	4	2	.	2	4	4	1	2	13	3	.	7
2500	6	3	.	2	2	4	.	3	4	2	.	6	4	5	1	3	2	2	1	3	13	3	2	3	3	3	.	4	5	3	.	3	2	2	1	6	3	5	.	1	2	6	.	2	6	2	1	3	7	2	1	1	4	4	1	4	5	3	.	2	10	2	.	3	3	8	4	3	4	3	1	2	1	3	2	6	9	4	.	2	4	2	.	8	5	5	.	2	3	2	.	2	11	4	.	4	3	3	.	2
2600	9	5	.	2	4	2	.	4	3	4	.	3	1	5	.	2	5	1	.	5	3	2	.	3	7	8	.	2	8	4	.	4	5	1	1	4	2	4	1	4	12	4	.	2	2	3	2	3	3	2	.	3	4	3	.	6	7	1	.	1	5	2	.	2	8	5	.	4	2	2	.	2	4	8	.	4	2	2	.	4	6	4	2	1	4	4	.	1	12	1	.	6	4	1	.	9	4	5	.	4
2700	8	3	.	5	6	2	.	3	6	7	.	1	5	3	.	4	4	6	.	2	8	4	.	2	2	5	1	6	6	1	.	1	2	2	.	5	10	6	1	4	4	1	.	4	5	8	.	2	3	1	1	5	5	3	1	4	2	2	1	2	8	3	.	4	3	5	.	1	4	4	.	2	7	3	.	8	2	3	2	2	4	4	3	4	8	2	.	2	4	1	.	4	3	9	.	4	2	2	.	6
2800	9	3	.	1	2	8	.	3	9	3	.	2	3	3	.	3	10	10	.	1	4	4	.	3	2	4	.	2	2	5	.	3	6	4	2	10	3	1	1	4	4	2	.	1	7	2	1	4	4	4	.	1	6	3	1	2	9	1	.	3	4	2	2	5	4	5	2	2	2	3	.	6	5	4	.	6	3	4	.	2	16	3	2	4	5	2	.	1	7	5	1	5	2	3	1	5	4	3	.	2
2900	5	2	.	2	7	4	2	6	4	2	.	2	9	4	.	4	6	1	.	4	5	3	.	2	2	9	.	2	6	6	.	2	1	2	1	3	2	4	.	1	7	2	1	4	6	4	.	2	2	2	1	3	6	3	.	4	2	1	.	4	6	7	2	1	4	2	.	5	4	4	1	1	1	2	1	8	8	5	.	3	3	3	.	3	2	5	.	3	3	3	.	3	6	4	.	3	2	8	1	1

3000	9	1	.	8	4	2	1	2	11	4	.	2	4	2	1	10	4	3	.	1	3	5	.	2	13	13	.	2	1	2	.	2	4	8	1	2	4	1	1	3	9	3	1	2	3	8	.	3	4	2	.	9	2	2	.	4	4	3	.	4	7	2	.	4	4	2	.	1	3	7	.	4	10	4	1	6	3	2	.	2	9	5	.	1	2	2	1	8	6	3	.	2	1	3	.	2	8	4	2	2
3100	6	2	.	3	6	8	1	2	4	3	.	5	2	3	.	4	4	3	2	2	12	4	.	3	5	3	.	2	6	5	.	3	8	2	.	9	9	1	2	2	2	4	2	2	4	4	.	2	3	3	2	4	4	3	.	3	2	4	2	8	5	2	.	2	3	4	.	3	12	2	.	5	4	2	.	3	7	4	.	4	4	2	.	3	6	10	1	2	1	2	.	1	8	3	1	6	3	2	.	3
3200	9	4	.	1	4	2	1	2	2	4	.	3	2	8	.	3	6	2	.	4	4	1	2	3	4	7	.	2	3	2	.	7	5	2	.	2	3	4	1	4	11	4	.	4	2	4	.	3	6	6	1	2	5	1	1	8	5	4	1	4	3	2	.	2	10	3	2	8	5	2	.	3	2	2	1	7	8	2	1	5	7	4	.	4	2	6	.	3	4	5	1	2	2	3	3	2	4	4	.	2
3300	7	1	.	3	4	2	.	1	1	2	.	5	9	5	1	8	1	2	.	1	4	5	.	1	2	6	1	2	7	3	.	3	12	5	1	4	4	5	.	7	3	2	1	4	6	4	.	1	5	3	2	3	2	3	.	4	6	5	.	2	16	1	.	4	2	2	1	6	4	3	.	2	2	2	1	8	7	2	2	2	3	6	.	3	9	3	.	2	4	1	.	3	8	7	.	4	2	2	.	4
3400	6	2	.	2	3	4	1	3	6	2	.	3	1	1	.	3	4	5	.	3	9	3	.	6	4	3	.	2	4	5	1	4	8	2	.	4	2	3	1	2	7	4	1	2	5	4	.	3	2	5	.	4	1	2	1	2	14	2	1	2	4	1	.	2	3	12	.	2	3	3	1	8	8	3	.	4	3	4	2	4	9	1	2	6	4	5	.	2	4	5	.	1	3	2	.	5	5	3	.	1
3500	5	4	.	2	6	3	.	4	3	4	1	2	2	4	2	4	2	2	1	6	11	2	.	2	2	6	1	2	10	1	.	4	3	1	.	4	6	5	.	1	4	1	.	3	3	4	.	2	1	6	1	4	8	5	1	6	2	1	.	1	5	2	.	2	6	4	.	5	5	3	.	3	2	4	.	6	4	5	.	3	2	1	2	2	10	4	.	3	5	3	.	9	7	2	.	2	4	4	.	4
3600	16	4	.	2	5	4	.	2	4	4	2	2	4	1	.	5	4	3	.	5	4	4	.	6	5	5	1	6	2	3	.	3	3	5	.	3	5	1	.	4	8	2	1	1	2	8	.	2	12	2	.	2	4	3	.	5	3	5	.	1	4	2	.	9	8	4	.	3	2	2	.	4	9	2	1	9	3	1	.	3	9	4	1	3	3	4	.	2	3	6	.	1	3	2	1	2	13	1	1	4
3700	4	2	.	5	2	8	.	2	4	3	1	2	6	6	1	2	4	7	.	2	8	1	1	5	3	3	2	2	4	4	.	4	4	1	2	7	5	2	1	2	6	4	1	3	12	4	.	3	3	2	2	3	6	9	.	2	2	5	.	5	6	3	.	2	2	4	.	1	5	1	1	4	3	4	.	5	5	2	1	1	8	3	.	4	5	4	.	2	2	4	.	2	7	1	.	8	3	1	.	3
3800	8	4	.	1	3	2	.	16	9	4	.	3	2	4	.	4	7	5	1	4	2	1	.	2	6	9	.	2	4	2	.	2	2	2	2	5	4	2	.	2	15	3	.	6	7	2	1	1	4	2	1	1	3	3	.	4	4	5	.	2	2	9	.	2	8	3	.	2	2	2	2	3	7	2	.	4	5	1	.	3	7	4	2	2	1	8	2	6	10	3	.	2	3	2	.	4	13	6	.	2
3900	8	2	.	2	6	5	.	1	2	2	.	1	4	5	.	9	2	3	.	1	9	3	.	2	5	3	.	8	3	3	.	2	3	7	.	3	8	4	.	4	3	4	1	2	5	4	.	1	4	2	.	3	10	3	.	4	3	4	1	3	14	4	1	2	2	4	1	7	7	12	.	4	2	2	.	8	5	4	.	3	3	3	1	4	6	2	1	3	2	1	.	2	2	5	.	5	5	3	1	4

4000	8	2	.	1	5	6	.	1	4	3	1	4	2	3	1	4	3	4	1	2	4	2	2	5	2	6	.	1	2	4	.	7	17	5	.	4	2	3	1	2	4	5	.	2	3	2	.	4	8	1	2	1	1	4	1	3	6	2	1	6	5	2	.	3	5	5	1	5	4	3	.	4	4	1	.	3	2	5	.	1	14	4	.	2	1	4	.	8	5	4	.	2	5	2	1	14	7	4	2	2
4100	9	2	.	4	11	5	1	3	3	2	1	1	10	4	.	4	4	2	.	2	5	3	.	4	1	8	.	1	8	3	.	6	5	1	.	2	4	4	.	1	8	3	.	5	6	4	1	4	2	6	.	3	4	2	.	6	2	1	.	3	12	5	.	2	6	6	1	5	4	2	.	2	3	4	.	3	10	3	.	4	4	2	.	3	4	9	.	2	2	2	.	5	4	4	2	3	1	3	1	5
4200	12	3	1	4	1	4	.	3	3	4	.	1	5	3	2	4	4	4	1	2	7	6	.	4	12	6	.	2	3	1	.	2	4	5	.	7	3	3	.	5	7	2	1	1	2	4	2	3	7	4	.	4	1	2	.	4	8	6	1	1	4	1	.	8	4	5	.	2	3	2	.	3	6	2	.	9	2	4	.	4	4	3	.	1	6	3	.	2	7	1	.	2	5	5	2	3	4	1	.	2
4300	3	4	.	4	4	8	.	4	2	3	.	6	13	3	.	2	3	2	.	2	16	3	.	4	5	3	.	1	3	13	.	3	3	3	.	8	4	2	.	1	5	2	1	2	4	5	.	9	4	1	1	4	11	2	.	5	9	2	.	3	4	5	.	1	4	6	.	2	12	5	.	4	1	1	1	5	4	5	.	2	5	3	.	4	5	3	.	2	3	8	.	2	7	2	1	4	4	1	.	2
4400	12	7	.	4	2	3	.	5	5	1	.	2	2	2	.	5	10	4	3	3	5	1	.	2	5	7	.	2	6	3	.	5	3	4	1	2	1	7	1	3	8	2	.	2	3	5	.	4	4	2	.	2	4	2	.	10	2	3	1	6	2	2	1	2	14	4	.	2	1	2	.	3	7	6	1	3	4	4	.	3	12	10	.	1	2	8	1	3	8	1	.	3	1	2	.	4	5	2	.	3
4500	8	4	.	4	2	4	.	1	5	5	1	4	8	5	.	8	1	1	2	3	5	4	.	1	4	4	1	5	6	4	.	2	2	3	1	3	13	4	.	4	2	2	.	4	7	8	1	1	2	1	.	4	3	3	1	5	2	8	.	3	13	2	2	8	4	4	.	1	3	4	1	4	5	2	.	6	8	3	.	2	5	3	.	3	4	4	.	4	2	3	2	2	8	3	.	2	2	2	6	7
4600	8	2	.	1	2	4	.	3	14	2	.	4	1	2	.	4	3	8	.	3	8	1	.	4	6	8	.	2	2	2	.	2	5	4	.	6	4	2	.	1	10	8	.	1	5	2	.	2	4	2	1	2	2	7	.	7	6	3	.	2	2	2	1	2	5	4	.	2	2	4	1	4	12	1	.	8	4	2	.	1	13	3	.	4	5	2	.	2	4	4	1	2	5	3	.	5	3	6	2	2
4700	3	2	1	1	12	2	1	4	4	2	.	3	4	2	.	4	3	3	.	7	6	3	.	1	1	13	.	2	5	2	.	4	4	2	2	2	7	3	.	2	4	2	.	10	3	4	.	2	2	2	.	3	12	6	.	4	2	2	.	1	8	4	.	2	2	2	.	4	5	4	.	4	4	4	.	4	6	3	1	6	2	2	.	1	6	9	.	2	7	2	.	3	5	2	.	4	5	6	1	8
4800	15	2	1	2	2	5	.	5	5	4	.	3	3	2	1	6	8	3	.	3	2	2	1	4	6	7	.	5	3	2	.	1	6	5	1	2	4	2	1	2	6	5	.	2	2	8	.	2	6	3	1	9	2	2	.	2	2	3	.	3	7	1	.	2	10	4	.	3	3	4	1	2	9	4	.	9	2	2	1	5	6	3	.	2	4	2	4	4	6	1	.	3	3	4	.	4	13	3	.	4
4900	7	4	.	2	4	8	2	2	2	2	3	3	5	3	.	3	3	4	.	2	9	5	1	4	4	4	1	2	10	5	.	1	4	1	.	8	3	1	.	2	4	6	1	2	7	7	.	4	1	5	.	2	2	4	.	2	5	1	.	7	8	5	.	2	6	4	1	3	9	2	.	3	2	1	.	8	4	10	2	2	4	2	.	5	5	2	2	1	4	2	1	5	12	3	2	8	3	2	.	1

5000	6	2	.	1	3	8	1	2	5	3	1	1	2	3	1	4	9	2	.	4	2	3	2	2	4	6	1	2	4	2	1	7	7	4	.	5	2	4	1	2	18	2	2	5	3	2	1	6	4	8	.	2	3	2	1	5	9	4	.	2	4	4	.	3	5	2	.	4	5	3	1	2	4	4	.	7	5	2	.	4	4	1	.	4	4	6	2	2	8	5	.	3	2	2	.	6	7	3	.	1

Es gibt für etliche $n$ (wahrscheinlich) gar keine Lösungen, für andere gibt es eine oder wenige Lösungen, die sich auf kleine $a^{p},b^{q}$ konzentrieren. Die Anzahl der Lösungen steigt langsam an für größere $n$ . Die folgende Tabelle enthält $n$ 's mit bis dahin der meisten Anzahl von Lösungen der Gleichung $n=a^{p}-b^{q}$ . Für $n=1$ gibt es wie bewiesen genau eine Lösung. Für größere $n$ handelt es sich die Anzahl bei der Suche bis $a^{p},b^{q}<2^{90}$ gefundenen Lösungen.

Kleinste $n$ mit der jeweils bis dahin maximale Anzahl an Lösungen für $a^{p},b^{q}<2^{90}$
$n$	Anzahl der Lösungen	größte Lösung für dieses $n$
$n$	Anzahl der Lösungen	Zahlen	Potenzen
0001	01	9 − 8	$3^{2}-2^{3}$
0003	02	128 − 125	$2^{\color {red}7}-5^{3}$
0004	03	125 − 121	$5^{3}-11^{2}$
0007	05	32768 − 32761	$2^{\color {red}15}-181^{2}$
0017	07	143384152921 − 143384152904	$378661^{2}-5234^{3}$
0100	10	18821096100 − 18821096000	$137190^{2}-2660^{3}$
0207	12	49757256774842616 − 49757256774842409	$367806^{3}-223063347^{2}$
0225	13	373425320872841769 − 373425320872841544	$611085363^{2}-720114^{3}$
1792	14	426959569 − 426957777	$20663^{2}-753^{3}$
2160	15	33076161 − 33074001	$321^{3}-5751^{2}$
2880	16	592704 − 589824	$84^{3}-768^{2}$
4032	17	11728027648 − 11728023616	$2272^{3}-108296^{2}$
5040	18	1590121 − 1585081	$1261^{2}-1259^{2}$

40320	36	101626561 − 101586241	$10081^{2}-10079^{2}$

Insbesondere für kleine $n$ findet man Lösungen für kleine $a^{p},b^{q}$ , darüber nimmt die Anzahl von Lösungen extrem schnell ab. Höhere Potenzen als $3$ sind selten.

Die jeweils größten Koeffizienten
$n$	Zahlen	Potenzen
0001	9 − 8	$3^{2}-2^{3}$
0002	27 – 25	$3^{3}-5^{2}$
0003	128 – 125	$2^{7}-5^{3}$
0007	32768 – 32761	$2^{15}-181^{2}$
0008	97344 – 97336	$312^{2}-46^{3}$
0015	1295044 – 1295029	$1138^{2}-109^{3}$
0017	143384152921 – 143384152904	$378661^{2}-5234^{3}$
0024	542939080336 – 542939080312	$736844^{2}-8158^{3}$
0207	49757256774842616 – 49757256774842409	$367806^{3}-223063347^{2}$
0225	373425320872841769 – 373425320872841544	$611085363^{2}-720114^{3}$
0307	830019507530916403 – 830019507530916096	$939787^{3}-911054064^{2}$
1090	22395604561459400005641 – 22395604561459400004551	$149651610621^{2}-28187351^{3}$
8569	1359566275032953673149025 - 1359566275032953673140456	$1166004406095^{2}-110781386^{3}$

Die folgende Liste gibt bis $n\leq 67$ alle Lösungen dieser Gleichung an, wobei $a^{p},b^{q}<2^{90}\approx 1{,}238\cdot 10^{26}$ ist. Der größe dabei auftretende Wert für $b^{q}$ ist $\ 542\,939\,080\,312\;(\approx 5{,}43\cdot 10^{11})$ in $736844^{2}-8158^{3}=24$ , im Bereich von $5{,}43\cdot 10^{11}$ bis $2^{90}\!-\!1\approx 1{,}238\cdot 10^{27}$ sind für $n\leq 206$ keine weiteren Lösungen zu finden.[2]

Liste aller Lösungen der Gleichung

a^{p}-b^{q}=n

für

1\leq n\leq 67

und

n=100

, mit

a^{p},b^{q}\leq 2^{90}

,

p\geq 2

,

q\geq 2

oder

q=0

n	Anzahl der Lösungen (Folge A076427 in OEIS)	Zahlen $k$ , sodass $k+n$ und $k$ beides Potenzen sind (Folge A103953 in OEIS)	$a^{p}-b^{q}=n$
1	1	8	$3^{2}-2^{3}=1$
2	1	25	$3^{3}-5^{2}=2$
3	2	1, 125	$2^{2}-1^{q}=3$ $2^{7}-5^{3}=3$
4	3	4, 32, 121	$2^{3}-2^{2}=4$ $6^{2}-2^{5}=4$ $5^{3}-11^{2}=4$
5	2	4, 27	$3^{2}-2^{2}=5$ $2^{5}-3^{3}=5$
6	0	es existiert keine Lösung
7	5	1, 9, 25, 121, 32761	$2^{3}-1^{q}=7$ $4^{2}-3^{2}=7$ $2^{5}-5^{2}=7$ $2^{7}-11^{2}=7$ $32^{3}-181^{2}=7$
8	3	1, 8, 97336	$3^{2}-1^{q}=8$ $2^{4}-2^{3}=8$ $312^{2}-46^{3}=8$
9	4	16, 27, 216, 64000	$5^{2}-2^{4}=9$ $6^{2}-3^{3}=9$ $15^{2}-6^{3}=9$ $253^{2}-40^{3}=9$
10	1	2187	$13^{3}-3^{7}=10$
11	4	16, 25, 3125, 3364	$3^{3}-2^{4}=11$ $6^{2}-5^{2}=11$ $56^{2}-5^{5}=11$ $15^{3}-58^{2}=11$
12	2	4, 2197	$2^{4}-2^{2}=12$ $47^{2}-13^{3}=12$
13	3	36, 243, 4900	$7^{2}-6^{2}=13$ $2^{8}-3^{5}=13$ $17^{3}-70^{2}=13$
14	0	es existiert keine Lösung
15	3	1, 49, 1295029	$2^{4}-1^{q}=15$ $2^{6}-7^{2}=15$ $1138^{2}-109^{3}=15$
16	3	9, 16, 128	$5^{2}-3^{2}=16$ $2^{5}-2^{4}=16$ $12^{2}-2^{7}=16$
17	7	8, 32, 64, 512, 79507, 140608, 143384152904	$5^{2}-2^{3}=17$ $7^{2}-2^{5}=17$ $3^{4}-2^{6}=17$ $23^{2}-2^{9}=17$ $282^{2}-43^{3}=17$ $375^{2}-52^{3}=17$ $378661^{2}-5234^{3}=17$
18	3	9, 225, 343	$3^{3}-3^{2}=18$ $3^{5}-15^{2}=18$ $19^{2}-7^{3}=18$
19	5	8, 81, 125, 324, 503284356	$3^{3}-2^{3}=19$ $10^{2}-3^{4}=19$ $12^{2}-5^{3}=19$ $7^{3}-18^{2}=19$ $55^{5}-22434^{2}=19$
20	2	16, 196	$6^{2}-2^{4}=20$ $6^{3}-14^{2}=20$
21	2	4, 100	$5^{2}-2^{2}=21$ $11^{2}-10^{2}=21$
22	2	27, 2187	$7^{2}-3^{3}=22$ $47^{2}-3^{7}=22$
23	4	4, 9, 121, 2025	$3^{3}-2^{2}=23$ $2^{5}-3^{2}=23$ $12^{2}-11^{2}=23$ $2^{11}-45^{2}=23$
24	5	1, 8, 25, 1000, 542939080312	$5^{2}-1^{q}=24$ $2^{5}-2^{3}=24$ $7^{2}-5^{2}=24$ $2^{10}-10^{3}=24$ $736844^{2}-8158^{3}=24$
25	2	100, 144	$5^{3}-10^{2}=25$ $13^{2}-12^{2}=25$
26	3	1, 42849, 6436343	$3^{3}-1^{q}=26$ $35^{3}-207^{2}=26$ $2537^{2}-23^{5}=26$
27	3	9, 169, 216	$6^{2}-3^{2}=27$ $14^{2}-13^{2}=27$ $3^{5}-6^{3}=27$
28	7	4, 8, 36, 100, 484, 50625, 131044	$2^{5}-2^{2}=28$ $6^{2}-2^{3}=28$ $2^{6}-6^{2}=28$ $2^{7}-10^{2}=28$ $2^{9}-22^{2}=28$ $37^{3}-225^{2}=28$ $2^{17}-362^{2}=28$
29	1	196	$15^{2}-14^{2}=29$
30	1	6859	$83^{2}-19^{3}=30$
31	2	1, 225	$2^{5}-1^{q}=31$ $16^{2}-15^{2}=31$
32	4	4, 32, 49, 7744	$6^{2}-2^{2}=32$ $2^{6}-2^{5}=32$ $3^{4}-7^{2}=32$ $6^{5}-88^{2}=32$

n	Anzahl der Lösungen (Folge A076427 in OEIS)	Zahlen $k$ , sodass $k+n$ und $k$ beides Potenzen sind (Folge A103953 in OEIS)	$a^{p}-b^{q}=n$
33	2	16, 256	$7^{2}-2^{4}=33$ $17^{2}-2^{8}=33$
34	0	es existiert keine Lösung
35	3	1, 289, 1296	$6^{2}-1^{q}=35$ $18^{2}-17^{2}=35$ $11^{3}-36^{2}=35$
36	2	64, 1728	$10^{2}-2^{6}=36$ $42^{2}-12^{3}=36$
37	3	27, 324, 14348907	$2^{6}-3^{3}=37$ $19^{2}-18^{2}=37$ $3788^{2}-243^{3}=37$
38	1	1331	$37^{2}-11^{3}=38$
39	4	25, 361, 961, 10609	$2^{6}-5^{2}=39$ $20^{2}-19^{2}=39$ $10^{3}-31^{2}=39$ $22^{3}-103^{2}=39$
40	4	9, 81, 216, 2704	$7^{2}-3^{2}=40$ $11^{2}-3^{4}=40$ $2^{8}-6^{3}=40$ $14^{3}-52^{2}=40$
41	3	8, 128, 400	$7^{2}-2^{3}=41$ $13^{2}-2^{7}=41$ $21^{2}-20^{2}=41$
42	0	es existiert keine Lösung
43	1	441	$22^{2}-21^{2}=43$
44	3	81, 100, 125	$5^{3}-3^{4}=44$ $12^{2}-10^{2}=44$ $13^{2}-5^{3}=44$
45	4	4, 36, 484, 9216	$7^{2}-2^{2}=45$ $9^{2}-6^{2}=45$ $23^{2}-22^{2}=45$ $21^{3}-96^{2}=45$
46	1	243	$17^{2}-3^{5}=46$
47	6	81, 169, 196, 529, 1681, 250000	$2^{7}-3^{4}=47$ $6^{3}-13^{2}=47$ $3^{5}-14^{2}=47$ $24^{2}-23^{2}=47$ $12^{3}-41^{2}=47$ $63^{3}-500^{2}=47$
48	4	1, 16, 121, 21904	$7^{2}-2^{0}=48$ $2^{6}-2^{4}=48$ $13^{2}-11^{2}=48$ $28^{3}-148^{2}=48$
49	3	32, 576, 274576	$3^{4}-2^{5}=49$ $25^{2}-24^{2}=49$ $65^{3}-524^{2}=49$
50	0	es existiert keine Lösung
51	2	49, 625	$10^{2}-7^{2}=51$ $26^{2}-5^{4}=51$
52	1	144	$14^{2}-12^{2}=52$
53	2	676, 24336	$27^{2}-26^{2}=53$ $29^{3}-156^{2}=53$
54	2	27, 289	$3^{4}-3^{3}=54$ $7^{3}-17^{2}=54$
55	3	9, 729, 175561	$2^{6}-3^{2}=55$ $28^{2}-27^{2}=55$ $56^{3}-419^{2}=55$
56	4	8, 25, 169, 5776	$2^{6}-2^{3}=56$ $3^{4}-5^{2}=56$ $15^{2}-13^{2}=56$ $18^{3}-76^{2}=56$
57	3	64, 343, 784	$11^{2}-2^{6}=57$ $20^{2}-7^{3}=57$ $29^{2}-28^{2}=57$
58	0	es existiert keine Lösung
59	1	841	$30^{2}-29^{2}=59$
60	4	4, 196, 2515396, 2535525316	$2^{6}-2^{2}=60$ $2^{8}-14^{2}=60$ $136^{3}-1586^{2}=60$ $76^{5}-50354^{2}=60$
61	2	64, 900	$5^{3}-2^{6}=61$ $31^{2}-30^{2}=61$
62	0	es existiert keine Lösung
63	4	1, 81, 961, 183250369	$2^{6}-1^{q}=63$ $12^{2}-9^{2}=63$ $2^{10}-31^{2}=63$ $568^{3}-13537^{2}=63$
64	4	36, 64, 225, 512	$10^{2}-6^{2}=64$ $2^{7}-2^{6}=64$ $17^{2}-15^{2}=64$ $24^{2}-2^{9}=64$
65	4	16, 1024, 2744, 199176704	$3^{4}-2^{4}=65$ $33^{2}-2^{10}=65$ $53^{2}-14^{3}=65$ $14113^{2}-584^{3}=65$
66	0	es existiert keine Lösung
67	2	1089, 12100	$34^{2}-33^{2}=67$ $23^{3}-110^{2}=67$
...
100	10	25, 125, 243, 576, 900, 3025, 8000, 13824, 39204, 18821096000	$5^{3}-5^{2}=100$ $15^{2}-5^{3}=100$ $7^{3}-3^{5}=100$ $26^{2}-24^{2}=100$ $10^{3}-30^{2}=100$ $5^{5}-55^{2}=100$ $90^{2}-20^{3}=100$ $118^{2}-24^{3}=100$ $34^{3}-198^{2}=100$ $137190^{2}-2660^{3}=100$

Weitere Verallgemeinerung

Man kann diese Verallgemeinerung weiter verallgemeinern und landet mit

k\,a^{p}-m\,b^{\;\;\!\!\!q}=n

und

(p,q)\neq (2,2)

bei der Pillai-Vermutung.

Literatur

Preda Mihailescu: Primary cyclotomic units and a proof of Catalan's conjecture. J. Reine Angew. Math. 572 (2004), S. 167–195
Christoph Pöppe: Der Beweis der Catalan'schen Vermutung. In: Omega. Das Magazin für Mathematik, Logik und Computer. (Spektrum der Wissenschaft Spezial 4/2003) Spektrumverlag, Heidelberg 2003, S. 64–67
Yuri Bilu: Catalan´s Conjecture (after Mihailescu). Seminaire Bourbaki, Nr. 909, 2002, (PDF).
Jeanine Daems: A Cyclotomic Proof of Catalan´s Conjecture. Diplomarbeit, Universität Leiden 2003, (PDF).
Maurice Mischler, Jacques Boéchat zur Catalan Vermutung, französisch (Arxiv).
Henri Cohen zum Beweis der Catalan Vermutung, französisch (Online).

Weblinks

Eric Weisstein: Catalan's Conjecture. In: MathWorld (englisch).
https://www.welt.de/print-wams/article604626/Geniestreich-eines-spaet-Berufenen.html

Einzelnachweise

Eugène Charles Catalan: Note extraite d'une lettre adressée à l'éditeur par Mr. E. Catalan, Répétiteur à l'école polytechnique de Paris. Journal für die reine und angewandte Mathematik 27, 192. 1844 (Scan des Originals online) (abgerufen am 16. April 2019)
Die Suche bis 2⁹⁰ dauert auf einem heutigen PC mit 48 GByte RAM ca. 20 Minuten.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. The authors of the article are listed here. Additional terms may apply for the media files, click on images to show image meta data.

[CATALAN-1] Eugène Charles Catalan: Note extraite d'une lettre adressée à l'éditeur par Mr. E. Catalan, Répétiteur à l'école polytechnique de Paris. Journal für die reine und angewandte Mathematik 27, 192. 1844 (Scan des Originals online) (abgerufen am 16. April 2019)

[2] Die Suche bis 2⁹⁰ dauert auf einem heutigen PC mit 48 GByte RAM ca. 20 Minuten.