Biharmonische Funktion

Eine mathematische Funktion ${\displaystyle u(x,y)}$ heißt biharmonisch in einem Gebiet ${\displaystyle D}$, falls sie die biharmonische Gleichung

${\displaystyle \Delta \Delta u(x,y)=0}$

für alle Punkte ${\displaystyle (x,y)\in D}$ erfüllt; ${\displaystyle \Delta }$ ist hierbei der Laplace-Operator und somit ${\displaystyle \Delta \Delta }$ der biharmonische Operator.

Die biharmonische Gleichung ist also eine partielle Differentialgleichung vierter Ordnung von ${\displaystyle u(x,y)}$.

In der Praxis tritt diese Gleichung z. B. in der Kontinuumsmechanik bei Platten auf. Die Verformung ${\displaystyle u(x,y)}$ einer Platte in einem Punkt ${\displaystyle (x,y)}$ gehorcht in erster Näherung der inhomogenen biharmonischen Gleichung:

${\displaystyle \Delta \Delta u(x,y)=f(x,y)}$

Hier ist ${\displaystyle f(x,y)}$ die Kraft(dichte), die auf die Platte ausgeübt wird.

Harmonische Funktionen s​ind auch i​mmer biharmonische Funktionen; d​ie Umkehrung m​uss aber n​icht gelten.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Biharmonic Equation. In: MathWorld (englisch).