Besov-Raum

Ein Besov-Raum (nach Oleg Wladimirowitsch Bessow) ist ein Funktionenraum. Er dient wie der ähnlich definierte Lizorkin-Triebel-Raum zur Definition verallgemeinerter Funktionenräume, indem er (in gewisser Weise) Glattheitseigenschaften der Funktionen misst. Anschaulich wird das Spektrogramm in exponentiell größer werdende Abschnitte unterteilt, deren Größe wiederum anhand deren Spektrogramme bestimmt wird.

Vorbereitung

Es sei , so existiert eine Zerlegung der Eins über mit den Eigenschaften

  • ,
  • für alle ,
  • .

Sei der Schwartz-Raum. Für definieren wir

für alle ,

wobei und die Fourier-Transformation beziehungsweise deren Inverse bezeichne. Für Funktionen aus dem Dualraum definieren wir

für alle und für alle .

Nach dem Satz von Paley-Wiener ist eine -Funktion, da ihre Fourier-Transformation einen kompakten Träger hat.

Definition

Sei , und . Dann definieren wir

,

wobei den Dualraum der Schwartz-Funktionen bezeichne und

.

Eigenschaften

Besov-Räume sind (im Allgemeinen nicht separable) Banachräume. Sei , dann gilt

.

Damit sind die oben definierten Besov-Räume in der Tat eine Verallgemeinerung der klassischen Lebesgue-Räume und Sobolev-Räume. Ferner gilt für

.

Für mit gilt die Äquivalenz

  1. Es gilt die Young'sche Bedingung
  2. Die Multiplikationsabbildung lässt sich eindeutig zu einer stetigen bilinearen Abbildung fortsetzen.

Einbettungen

Sei , und . Dann gilt

  • für ,
  • .

Für , gilt

  • für ,
  • für .

Quellen

  • Triebel, H. "Theory of Function Spaces II"; ISBN 978-0817626396.
  • Besov, O. V. "On a certain family of functional spaces. Embedding and extension theorems", Dokl. Akad. Nauk SSSR 126 (1959), 1163–1165.
  • DeVore, R. und Lorentz, G. "Constructive Approximation", 1993; ISBN 978-3540506270.
  • DeVore, R., Kyriazis, G. und Wang, P. "Multiscale characterizations of Besov spaces on bounded domains", Journal of Approximation Theory 93, 273–292 (1998).
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