Barratt-Milnor-Sphäre

Im mathematischen Teilgebiet d​er algebraischen Topologie s​ind die Barratt-Milnor-Sphären e​in Beispiel e​ines kompakten endlich-dimensionalen Raumes, dessen Homologiegruppen i​n beliebig h​ohen Graden n​icht verschwinden u​nd sogar überabzählbare Dimension haben. Sie s​ind nach Michael Barratt u​nd John Milnor benannt.

Definition

Die ${\displaystyle k}$ -dimensionale Barratt-Milnor-Sphäre kann definiert werden als

${\displaystyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left\{(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{k})\in \mathbb {R} ^{k+1}:{\Bigl (}x_{0}-{\frac {1}{n}}{\Bigr )}^{2}+x_{1}^{2}+\ldots +x_{k}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\right\}}$ .

Es handelt sich also um eine abzählbare Vereinigung von ${\displaystyle k}$ -Sphären, die einen einzelnen Punkt gemeinsam haben und deren Topologie von einer Metrik kommt, in der die Durchmesser der Sphären mit wachsendem ${\displaystyle n}$ gegen Null konvergieren.

Für ${\displaystyle k=1}$ erhält man den Hawaiischen Ohrring. Die Bezeichnung Barratt-Milnor-Sphäre wird nur für ${\displaystyle k>1}$ verwendet.

Homologiegruppen

Für ${\displaystyle q\equiv 1\ mod\ (r-1),q>1}$ sind die singulären Homologiegruppen ${\displaystyle H_{q}(X;\mathbb {Q} )}$ nicht Null und sogar überabzählbar.

Eigenschaften

Die ${\displaystyle k}$ -dimensionalen Barratt-Milnor-Sphären sind ${\displaystyle (k-1)}$ -zusammenhängend und lokal ${\displaystyle (k-1)}$ -zusammenhängend.

Sie sind aber nicht semilokal ${\displaystyle k}$ -zusammenhängend.

Sie sind kompakt und ${\displaystyle k}$ -dimensional.

Sie sind die Einpunkt-Kompaktifizierung einer abzählbaren Vereinigung von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ s.

Literatur

• M. Barratt, J. Milnor: An example of anomalous singular homology, Proc. Amer. Math. Soc. 13, 293–297 (1962)