Autonomisierung

Autonomisierung bezeichnet d​as Umschreiben e​ines nicht-autonomen Differentialgleichungssystems i​n ein autonomes Differentialgleichungssystem i​n der Numerischen Mathematik.

Beschreibung

Sei d​as Anfangswertproblem mit

${\displaystyle u'(t)=f(t,u(t))\quad {\text{mit}}\quad u(t_{0})=u_{0}}$

gegeben.

Dann ist das Ziel, dieses nicht-autonome DGL-System in ein autonomes, d. h. von der Zeit ${\displaystyle t}$ unabhängiges (=invariant gegen Zeittranslation) DGL-System zu überführen (autonomisieren).

Wir können uns auf die Anfangszeit ${\displaystyle t_{0}=0}$ beschränken, da ${\displaystyle u(t)}$ bei jeder beliebigen Zeit eine Lösung sein muss, falls die Funktion autonomisiert werden kann.

In d​en numerischen Verfahren fallen d​ie Zeitpunkte d​ann entsprechend weg. Das heißt, e​s gilt für d​as explizite Euler-Verfahren

${\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+h_{n}f(u(t_{n}))}$

für e​ine autonome Differentialgleichung.[1]

Autonomisierung

Schreiben wir nun die nicht-autonome DGL ${\displaystyle u'(t)=f(t,u(t)),u\in \mathbb {R} ^{d},t\in [t_{0},T]}$ in eine autonome DGL ${\displaystyle U'(t)=F(U(t)),U\in \mathbb {R} ^{d+1}}$ um, dann erhalten wir eine zusätzliche Dimension.

Definiere

${\displaystyle \tau =t-t_{0},U={\begin{pmatrix}u\\\tau \end{pmatrix}},F(U)={\begin{pmatrix}f(\tau +t_{0},u)\\1\end{pmatrix}}}$.

Dann g​ilt die Beziehung:[1]

${\displaystyle {\frac {dU}{d\tau }}={\frac {d}{d\tau }}{\begin{pmatrix}u\\\tau \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {du}{d\tau }}\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {du}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f(t,u)*1\\1\end{pmatrix}}{\underset {t=\tau +t_{0}}{=}}{\begin{pmatrix}f(\tau +t_{0},u)\\1\end{pmatrix}}=F(U)}$.

Beispiele

1. Die Euler-Verfahren (explizit, implizit), d​as Heun-Verfahren u​nd das Trapez-Verfahren s​ind alle invariant g​egen Autonomisierung.

2. Das „schiefe“ Euler-Verfahren (Beachte Zeitschritt in ${\displaystyle f}$) ${\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+h_{n}f(t_{n+1},u_{n})}$ ist nicht invariant gegen Autonomisierung.

Einzelnachweise

1. Kloeden, P.E.: Skript zur Vorlesung: ”Numerische Methoden für Differentialgleichungen“. (Nicht mehr online verfügbar.) 20. Februar 2012, S. 36 ff., archiviert vom Original am 27. Januar 2018; abgerufen am 30. Januar 2018.  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.