Arens-Michael-Zerlegung

Die Arens-Michael-Zerlegung, benannt n​ach Richard Arens u​nd Ernest Michael, i​st eine mathematische Konstruktion z​ur Untersuchung v​on LMC-Algebren. Die Arens-Michael-Zerlegung stellt vollständige LMC-Algebren a​ls projektive Limiten v​on Banachalgebren dar.[1]

Konstruktion

Es sei ${\displaystyle A}$ eine LMC-Algebra, das heißt eine topologische Algebra, deren Topologie durch eine gerichtete Familie submultiplikativer Halbnormen ${\displaystyle (p_{\alpha })_{\alpha \in I}}$ gegeben ist, wobei ${\displaystyle \alpha \leq \beta }$ für ${\displaystyle p_{\alpha }\geq p_{\beta }}$ steht. Dann ist ${\displaystyle N_{\alpha }:=p_{\alpha }^{-1}(0)\subset A}$ ein zweiseitiges Ideal und ${\displaystyle p_{\alpha }}$ definiert durch

${\displaystyle {\hat {p}}_{\alpha }(a+N_{\alpha }):=p_{\alpha }(a)}$

eine Norm auf der Quotientenalgebra ${\displaystyle A/N_{\alpha }}$ . Die Vervollständigungen der ${\displaystyle (A/N_{\alpha },{\hat {p}}_{\alpha })}$ sind Banachalgebren, die mit ${\displaystyle A_{\alpha }}$ bezeichnet werden.

Für ${\displaystyle \alpha \leq \beta }$ definiert ${\displaystyle a+N_{\beta }\mapsto a+N_{\alpha }}$ einen Algebrenhomomorphismus ${\displaystyle f_{\alpha ,\beta }:A_{\beta }\rightarrow A_{\alpha }}$ . Mit diesen Abbildungen erhält man eine Einbettung

${\displaystyle A\rightarrow \lim _{\longleftarrow }A_{\alpha }:=\{(a_{\alpha })_{\alpha };f_{\alpha ,\beta }(a_{\beta })=a_{\alpha }\,\forall \alpha <\beta \}\subset \Pi _{\alpha \in I}A_{\alpha }}$

in den projektiven Limes des Systems ${\displaystyle (A_{\alpha },f_{\alpha ,\beta })}$ . Damit ist jede LMC-Algebra eine Unteralgebra eines Produkts von Banachalgebren. Dies nennt man die Arens-Michael-Zerlegung.[2]

Wenn ${\displaystyle A}$ vollständig ist, so ist ${\displaystyle A\rightarrow \lim _{\longleftarrow }A_{\alpha }}$ surjektiv und man erhält das Resultat, dass vollständige LMC-Algebren projektive Limiten von Banachalgebren sind. Vollständige LMC-Algebren nennt man daher auch Arens-Michael-Algebren[3].

Anwendungen

Mittels d​er Darstellung a​ls projektive Limiten v​on Banachalgebren können manche Ergebnisse a​us der Theorie d​er Banachalgebren a​uf (vollständige) LMC-Algebren übertragen werden.

Eine typische Anwendung ist das Invertierbarkeitskriterium von Arens. Mit den Bezeichnungen aus obiger Konstruktion ist ein Element ${\displaystyle a\in A}$ aus einer Arens-Michael-Algebra mit Einselement genau dann invertierbar, wenn ${\displaystyle a+N_{\alpha }}$ in jeder Algebra ${\displaystyle A_{\alpha }}$ invertierbar ist.[4]

Weiter kann man mit diesen Methoden zeigen, dass LMC-Algebren eine stetige Inverse haben, das heißt, dass die Abbildung ${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$ auf der Menge der invertierbaren Elemente automatisch stetig ist.[5]

Einzelnachweise

1. E. A. Michael: Locally multiplicatively-convex topological algebras, Mem. Amer. Math. Soc. (1952), Band 11
2. Anastasios Mallios: Topological Algebras: Selected Topics, North-Holland Mathematics Studies, Band 124, Kapitel III.3 "Arens Michael Decomposition"
3. A. Y. Helemskii: The Homology of Banach and Topological Algebras. Kluwer Academic Publishers (1989), ISBN 0-7923-0217-6, Kapitel 0, §1.3. Definition 1.2
4. Edward Beckenstein, Lawrence Narici, Charles Suffel: Topological algebras, North-Holland Publishing Company (1977), ISBN 0-7204-0724-9, Theorem 4.6-1 (e)
5. Edward Beckenstein, Lawrence Narici, Charles Suffel: Topological algebras, North-Holland Publishing Company (1977), ISBN 0-7204-0724-9, Theorem 4.8-6