Alpha-Beta-Filter

Ein Alpha-Beta-Filter[1] (auch f-g-Filter oder g-h-Filter) ist ein Beobachter zur Schätzung und Glättung von Größen, welcher mit dem Kalman-Filter verwandt ist. Anwendung findet der Alpha-Beta-Filter zum Beispiel in Radartrackern.

Formeln

Ergebnis der Glättung eines Signals (blau) mittels Alpha-Beta-Filter (rot) mit alpha = 0,85 und beta = 0,005.

Der Alpha-Beta-Filter kann auf Systeme angewandt werden, bei denen eine Größe ${\displaystyle {\textbf {x}}}$ (zum Beispiel eine Position) aus einer anderen Größe ${\displaystyle {\textbf {v}}}$ (zum Beispiel die Geschwindigkeit) durch Integration hervorgeht.

Ausgehend von der vorherigen (eventuell initialen) Schätzung der Größen ${\displaystyle {\hat {\textbf {x}}}_{k-1},{\hat {\textbf {v}}}_{k-1}}$ zum Zeitpunkt ${\displaystyle k-1}$, erhält man den prädizierten Wert für die Größe durch die Formel

${\displaystyle {\text{(1)}}\quad {\hat {\textbf {x}}}_{k}\leftarrow {\hat {\textbf {x}}}_{k-1}+\Delta {\textrm {T}}\ {\textbf {}}{\hat {\textbf {v}}}_{k-1}}$,

wobei ${\displaystyle \Delta T}$ die Zeitdifferenz zwischen den beiden Zeitpunkten ist.

Falls das System nicht getrieben ist, bleibt die Schätzung der Größe ${\displaystyle {\textbf {v}}}$ erhalten:${\displaystyle {\text{(2)}}\quad {\hat {\textbf {v}}}_{k}\leftarrow {\hat {\textbf {v}}}_{k-1}}$. Ansonsten sind in dieser Formel Anpassungen möglich.

Das Residuum zwischen dem neuen Messwert und dem vorhergesagten Wert zur Zeit ${\displaystyle k}$ ist

${\displaystyle {\text{(3)}}\quad {\hat {\textbf {r}}}_{k}\leftarrow {\textbf {x}}_{k}-{\hat {\textbf {x}}}_{k}}$

Mithilfe d​er Alpha- u​nd Beta-Werte w​ird die Schätzung d​er beiden Größen aktualisiert.

${\displaystyle {\text{(4)}}\quad {\hat {\textbf {x}}}_{k}\leftarrow {\hat {\textbf {x}}}_{k}+(\alpha )\ {\hat {\textbf {r}}}_{k}}$

${\displaystyle {\text{(5)}}\quad {\hat {\textbf {v}}}_{k}\leftarrow {\hat {\textbf {v}}}_{k}+(\beta /[\Delta {\textrm {T}}])\ {\hat {\textbf {r}}}_{k}}$,

hierbei sind ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \beta }$ zu wählen.

Für d​ie Konvergenz u​nd Stabilität sollten a​lpha und b​eta kleine positive Zahlen sein:[2]

${\displaystyle \quad 0<\alpha <1}$

${\displaystyle \quad 0<\beta \leq 2}$

${\displaystyle \quad 0<4-2\alpha -\beta }$

Siehe auch

• Gleitender Mittelwert#Exponentiell gewichteter geglätteter Durchschnitt

Einzelnachweise

1. David Lee Hall, Sonya A. H. McMullen: Mathematical Techniques in Multisensor Data Fusion. Artech House, 2004, ISBN 978-1-58053-335-5 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 1. Juli 2020]).
2. C. Frank Asquith: Weight selection in first-order linear filters. Technical report. Army Inertial Guidance and Control Laboratory Center, Redstone Arsenal, Alabama, 1969. https://doi.org/10.21236/ad0859332