(61,16,4)-Blockplan
Der (61,14,4)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 61 × 61 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 14 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 4 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 61, k = 14, λ = 4), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.
Eigenschaften
Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 61, k = 16, λ = 4 und damit folgende Eigenschaften:
- Er besteht aus 61 Blöcken und 61 Punkten.
- Jeder Block enthält genau 16 Punkte.
- Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 4 Punkten.
- Jeder Punkt liegt auf genau 16 Blöcken.
- Je 2 Punkte sind durch genau 4 Blöcke verbunden.
Existenz und Charakterisierung
Es existieren mindestens sechs nichtisomorphe 2-(61,16,4) - Blockpläne[1][2][3][4][5]. Fünf dieser Lösungen sind:
- Lösung 1 mit der Signatur 45·1, 15·5/18, 1·20. Sie enthält 54 Ovale der Ordnung 5.
- Lösung 2 (dual zur Lösung 3) mit der Signatur 45·1, 10·5/18, 5·5/54, 1·20. Sie enthält 54 Ovale der Ordnung 5.
- Lösung 3 (dual zur Lösung 2) mit der Signatur 45·1, 15·5/30, 1·20. Sie enthält 54 Ovale der Ordnung 5.
- Lösung 4 (dual zur Lösung 5) mit der Signatur 45·4, 16·5. Sie enthält 54 Ovale der Ordnung 5.
- Lösung 5 (dual zur Lösung 4) mit der Signatur 60·1, 1·20. Sie enthält 54 Ovale der Ordnung 5.
Liste der Blöcke
Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 17 21 24 26 32 36 39 41 47 51 54 56 1 2 3 4 18 22 25 27 33 37 40 42 48 52 55 57 1 2 3 4 19 20 23 28 34 35 38 43 49 50 53 58 1 5 6 7 20 24 27 29 35 39 42 44 50 54 57 59 1 5 6 7 21 25 28 30 36 40 43 45 51 55 58 60 1 5 6 7 22 23 26 31 37 38 41 46 52 53 56 61 1 8 9 10 17 23 27 30 32 38 42 45 47 53 57 60 1 8 9 10 18 24 28 31 33 39 43 46 48 54 58 61 1 8 9 10 19 25 26 29 34 40 41 44 49 55 56 59 1 11 12 13 18 20 26 30 33 35 41 45 48 50 56 60 1 11 12 13 19 21 27 31 34 36 42 46 49 51 57 61 1 11 12 13 17 22 28 29 32 37 43 44 47 52 58 59 1 14 15 16 18 21 23 29 33 36 38 44 48 51 53 59 1 14 15 16 19 22 24 30 34 37 39 45 49 52 54 60 1 14 15 16 17 20 25 31 32 35 40 46 47 50 55 61 2 6 9 11 17 20 24 25 30 31 33 34 36 37 53 59 3 7 10 12 18 21 23 25 29 31 32 34 35 37 54 60 4 5 8 13 19 22 23 24 29 30 32 33 35 36 55 61 5 9 12 14 18 19 20 23 27 28 36 37 39 40 47 56 6 10 13 15 17 19 21 24 26 28 35 37 38 40 48 57 7 8 11 16 17 18 22 25 26 27 35 36 38 39 49 58 2 8 12 15 21 22 23 26 30 31 39 40 42 43 50 59 3 9 13 16 20 22 24 27 29 31 38 40 41 43 51 60 4 10 11 14 20 21 25 28 29 30 38 39 41 42 52 61 3 5 11 15 18 19 24 25 26 29 42 43 45 46 47 53 4 6 12 16 17 19 23 25 27 30 41 43 44 46 48 54 2 7 13 14 17 18 23 24 28 31 41 42 44 45 49 55 3 6 8 14 17 21 22 27 28 29 33 34 45 46 50 56 4 7 9 15 18 20 22 26 28 30 32 34 44 46 51 57 2 5 10 16 19 20 21 26 27 31 32 33 44 45 52 58 2 6 9 11 23 29 32 35 39 40 45 46 48 49 51 52 3 7 10 12 24 30 33 36 38 40 44 46 47 49 50 52 4 5 8 13 25 31 34 37 38 39 44 45 47 48 50 51 5 9 12 14 17 26 33 34 35 38 42 43 51 52 54 55 6 10 13 15 18 27 32 34 36 39 41 43 50 52 53 55 7 8 11 16 19 28 32 33 37 40 41 42 50 51 53 54 2 8 12 15 20 29 36 37 38 41 45 46 54 55 57 58 3 9 13 16 21 30 35 37 39 42 44 46 53 55 56 58 4 10 11 14 22 31 35 36 40 43 44 45 53 54 56 57 3 5 11 15 17 23 33 34 39 40 41 44 57 58 60 61 4 6 12 16 18 24 32 34 38 40 42 45 56 58 59 61 2 7 13 14 19 25 32 33 38 39 43 46 56 57 59 60 3 6 8 14 20 26 32 36 37 42 43 44 48 49 60 61 4 7 9 15 21 27 33 35 37 41 43 45 47 49 59 61 2 5 10 16 22 28 34 35 36 41 42 46 47 48 59 60 2 6 9 11 18 19 21 22 38 44 47 50 54 55 60 61 3 7 10 12 17 19 20 22 39 45 48 51 53 55 59 61 4 5 8 13 17 18 20 21 40 46 49 52 53 54 59 60 5 9 12 14 21 22 24 25 32 41 48 49 50 53 57 58 6 10 13 15 20 22 23 25 33 42 47 49 51 54 56 58 7 8 11 16 20 21 23 24 34 43 47 48 52 55 56 57 2 8 12 15 24 25 27 28 35 44 51 52 53 56 60 61 3 9 13 16 23 25 26 28 36 45 50 52 54 57 59 61 4 10 11 14 23 24 26 27 37 46 50 51 55 58 59 60 3 5 11 15 27 28 30 31 32 38 48 49 54 55 56 59 4 6 12 16 26 28 29 31 33 39 47 49 53 55 57 60 2 7 13 14 26 27 29 30 34 40 47 48 53 54 58 61 3 6 8 14 18 19 30 31 35 41 47 51 52 57 58 59 4 7 9 15 17 19 29 31 36 42 48 50 52 56 58 60 2 5 10 16 17 18 29 30 37 43 49 50 51 56 57 61
- Lösung 2
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- Lösung 3
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- Lösung 5
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Inzidenzmatrix
Dies ist eine Darstellung der Inzidenzmatrix dieses Blockplans; zum Verständnis dieser Matrix siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
O O O O O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O . . . . . . . . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O O O O . . . . . . . . . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O . . . O . . O . O . . . . O O O O . . . . . . . . . . . . . . O O . . O . . . . O . . . . . O O . . O . . . . O . . . . . O O . . O . . . . O . . . O . . . O O O . . . . . . . . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O . . . O . . O . O . . O . . . O O O . . . . . . . . . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O . . . O . . O . O . O . . . O O O . . . . . . . . . . . . . . O O . . O . . . . O . . . . . O O . . O . . . . O . . . . . O O . . O . . . . O O . . . . . . O O O . . . . . . O . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . . 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- Lösung 2
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- Lösung 4
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Oval
Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung für jede Lösung dieses Blockplans:
- Lösung 1
17 20 23 26 29
- Lösung 2
17 18 19 20 21
- Lösung 3
17 18 19 20 21
- Lösung 4
2 3 20 49 51
- Lösung 5
17 18 19 20 21
Literatur
- Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
- Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.
Einzelnachweise
- Tran van Trung: A symmetric block design with parameters (61,16,4). In: Journal of Combinatorial Theory, Series A. Bd. 37, Nr. 3, 1984, S. 374, doi:10.1016/0097-3165(84)90061-X.
- Vladimir Ćepulić: The unique symmetric block design (61,16,4) admitting an automorphism of order 15 operating standardly. In: Discrete Mathematics. Bd. 175, Nr. 1/3, 1997, S. 259–263, doi:10.1016/S0012-365X(97)00065-4.
- Ivan Landjev, Svetlana Topalova: New Symmetric (61,16,4) Designs Invariant Under the Dihedral Group of Order 10. In: Serdica Mathematical Journal. Bd. 24, Nr. 2, 1998, S. 179–186.
- Vladimir Ćepulić: Symmetric block designs (61,16,4) admitting an automorphism of order 15. In: Glasnik Matematički. Bd. 55 = Series III, Bd. 35, Nr. 2, 2000, S. 233–244.
- Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman and Hall/ CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.
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