(59,29,14)-Blockplan
Der (59,29,14)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 59 × 59 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 29 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 14 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 59, k = 29, λ = 14), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.
Bezeichnung
Dieser symmetrische 2-(59,29,14)-Blockplan wird Hadamard-Blockplan der Ordnung 15 genannt.
Eigenschaften
Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 59, k = 29, λ = 14 und damit folgende Eigenschaften:
- Er besteht aus 59 Blöcken und 59 Punkten.
- Jeder Block enthält genau 29 Punkte.
- Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 14 Punkten.
- Jeder Punkt liegt auf genau 29 Blöcken.
- Je 2 Punkte sind durch genau 14 Blöcke verbunden.
Existenz und Charakterisierung
Es existieren mindestens vier nichtisomorphe 2-(59,29,14) - Blockpläne[1]. Diese Lösungen sind:
- Lösung 1 mit der Signatur 59·580. Sie enthält 1711 Ovale der Ordnung 2.
- Lösung 2 mit der Signatur 58·70, 1·812. Sie enthält 29 Ovale der Ordnung 3.
- Lösung 3 (dual zur Lösung 4) mit der Signatur 10·1, 14·2, 16·3, 6·6, 4·10, 2·12, 2·13, 1·16, 1·20, 1·22, 2·30. Sie enthält 5 Ovale der Ordnung 3.
- Lösung 4 (dual zur Lösung 3) mit der Signatur 10·1, 10·2, 10·3, 4·4, 8·5, 2·6, 4·8, 2·10, 1·12, 2·15, 1·16, 2·18, 3·20. Sie enthält 5 Ovale der Ordnung 3.
Liste der Blöcke
Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
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- Lösung 2
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- Lösung 3
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- Lösung 4
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Inzidenzmatrix
Dies ist eine Darstellung der Inzidenzmatrix dieses Blockplans; zum Verständnis dieser Matrix siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
. O . O O O . O . O . . O . . O O O . O O O O . . O O O O O . . . . . O O . . . . O . . . O O . O O . O . O . . . O . . . O . O O O . O . O . . O . . O O O . O O O O . . O O O O O . . . . . O O . . . . O . . . O O . O O . O . O . . . O O . . O . O O O . O . O . . O . . O O O . O O O O . . O O O O O . . . . . O O . . . . O . . . O O . O O . O . O . . . . O . . O . O O O . O . O . . O . . O O O . O O O O . . O O O O O . . . . . O O . . . . O . . . O O . O O . O . O . . . . O . . O . O O O . O . O . . O . . O O O . O O O O . . O O O O O . . . . . O O . . . . O . . . O O . O O . O . O . . . . O . . O . O O O . O . O . . O . . O O O . O O O O . . O O O O O . . . . . O O . . . . O . . . O O . O O . O . O O . . . O . . O . O O O . O . O . . O . . O O O . O O O O . . O O O O O . . . . . O O . . . . O . . . O O . O O . O . . O . . . O . . O . O O O . O . O . . O . . O O O . O O O O . . O O O O O . . . . . O O . . . . O . . . O O . O O . O O . O . . . O . . O . O O O . O . O . . O . . O O O . 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- Lösung 2
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- Lösung 3
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- Lösung 4
O . . O . . . O . . . O . . O O . . O O O . O . O O O . . O O . . O . O O O O O . O . . . . . . O O . O O O . O O . . . O . O O . . O O . . O O . O . O . O . . O O O O . . O . O . O . O O O . . . . O O O . . . . . O . O O . . O O . O . . . O O O O . O O O . O O O O . . O O . O . . O . . O . O O . . O O O . . O O O . . O O . . . . O . . . . O . . . . O O O O O . . . . . . . . . . O O O O O O . . . O O . . . O O O O O O . O . . O O . . O . . O O O . O O . . . . . . O O . O O . O . . O . . . O . . . . O O . . . . O . . . O . . O . O O . O O . O O . O O . O O . O O . O O . O O . O O . O . . O . . O . O O . . O O . O O . O . O O . O O O O O O . . . . O . . . . O . . . . O . O O . O . O O . O . O O . O . . . . . . . O O O O . O O O O . O . . O . O O O . . . O O O O . . . . O O O . O . O . O . O O . . O O . O . . . . . O O O O . O O O O . . . . . . O O O . . . O O O . O . . O . O O . O . O . O O O . . . . O . O . . . . . O . O O . . O O . O O . . O O . O . . O . . O . O O O O O O . O O . O . 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Zyklische Darstellung
Es existiert eine zyklische Darstellung (Singer-Zyklus) für Lösung 1 dieses Blockplans, sie ist isomorph zur obigen Liste der Blöcke. Ausgehend von dem dargestellten Block erhält man die restlichen Blöcke des Blockplans durch zyklische Permutation der in ihm enthaltenen Punkte.
- Lösung 1
2 4 5 6 8 10 13 16 17 18 20 21 22 23 26 27 28 29 30 36 37 42 46 47 49 50 52 54 58
Oval
Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier sind Beispiele von Ovalen maximaler Ordnung dieses Blockplans (in jeder Zeile ist ein Oval durch die Menge seiner Punkte dargestellt):
- Lösung 1
1 2
- Lösung 2
1 30 31
- Lösung 3 (sämtliche Ovale)
5 15 20 10 15 25 15 30 45 15 35 50 15 40 55
- Lösung 4 (sämtliche Ovale)
5 15 20 10 15 25 15 30 45 15 35 50 15 40 55
Literatur
- Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
- Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.
Einzelnachweise
- Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman and Hall/ CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.
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