(51,25,12)-Blockplan
Der (51,25,12)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: Eine leere 51×51-Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 25 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 12 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 51, k = 25, λ = 12), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In der Übersicht über die kleinsten symmetrischen Blockpläne sind die kleinsten solcher (v, k, λ) aufgeführt.
Bezeichnung
Dieser symmetrische 2-(51,25,12)-Blockplan wird Hadamard-Blockplan der Ordnung 13 genannt.
Eigenschaften
Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 51, k = 25, λ = 12 und damit folgende Eigenschaften:
- Er besteht aus 51 Blöcken und 51 Punkten.
- Jeder Block enthält genau 25 Punkte.
- Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 12 Punkten.
- Jeder Punkt liegt auf genau 25 Blöcken.
- Je 2 Punkte sind durch genau 12 Blöcke verbunden.
Existenz und Charakterisierung
Es existieren mindestens zwei nichtisomorphe 2-(51,25,12) - Blockpläne[1]. Diese Lösungen sind:
- Lösung 1 (dual zur Lösung 2) mit der Signatur 18·1, 5·2, 4·3, 4·4, 2·6, 2·7, 3·8, 4·9, 2·10, 2·11, 2·14, 2·17, 1·18. Sie enthält 1 Oval der Ordnung 3.
- Lösung 2 (dual zur Lösung 1) mit der Signatur 12·1, 2·2, 2·4, 2·7, 6·8, 2·9, 2·10, 4·11, 2·12, 3·14, 2·15, 6·16, 2·17, 2·19, 2·21. Sie enthält 1 Oval der Ordnung 3.
Liste der Blöcke
Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
1 2 3 5 9 11 12 13 14 17 23 28 29 30 32 34 36 37 38 39 40 44 45 47 48 1 2 3 7 8 12 14 16 19 20 21 22 25 27 29 30 37 38 40 42 43 45 48 50 51 1 2 3 6 7 9 10 13 16 17 18 19 23 24 25 27 28 30 33 35 38 39 42 44 50 4 5 7 8 9 10 12 18 19 20 23 24 25 26 30 31 32 37 38 39 43 44 47 48 51 1 4 5 7 9 11 13 15 16 18 22 32 35 38 39 40 41 42 43 44 45 46 48 50 51 3 6 8 9 10 11 13 16 19 26 28 29 30 32 33 34 37 38 41 42 43 46 48 49 51 2 3 4 5 7 10 13 20 23 26 27 28 31 32 33 35 36 37 40 42 43 45 48 49 50 2 4 6 8 9 12 13 17 21 23 24 27 30 33 39 40 41 43 45 46 47 48 49 50 51 1 3 4 5 6 8 9 14 15 16 19 20 21 26 27 28 33 34 35 39 40 43 44 47 48 3 4 6 7 10 11 12 13 14 15 16 20 21 22 23 27 30 32 35 37 38 39 41 47 49 1 5 6 10 11 12 14 17 18 19 20 23 25 27 28 35 36 38 40 41 43 46 48 49 51 1 2 4 8 10 11 12 13 16 22 25 27 28 29 31 33 35 36 37 39 43 44 46 47 51 1 3 5 6 7 8 10 12 15 17 22 24 26 28 30 35 37 40 42 44 45 46 47 49 51 1 2 9 10 11 15 19 20 21 22 23 24 26 29 33 35 36 38 39 42 45 47 48 49 51 5 9 10 13 14 16 17 20 21 22 24 25 26 27 28 29 32 38 43 44 45 46 47 49 50 2 3 5 6 9 10 12 15 18 21 22 25 26 27 32 33 34 36 37 38 39 40 46 50 51 1 3 8 11 13 15 18 20 21 23 24 25 28 31 34 37 38 39 40 42 43 46 47 49 50 3 4 5 11 16 17 19 21 22 23 24 25 26 28 30 34 35 36 37 39 41 43 45 50 51 2 3 4 6 9 11 14 18 20 22 24 25 27 28 30 31 32 34 35 42 45 46 47 48 51 2 4 7 9 10 11 14 15 17 19 21 25 30 31 33 34 35 37 38 40 43 44 45 46 49 2 8 9 10 14 15 16 17 18 20 22 23 26 28 29 30 31 35 37 39 40 41 46 48 50 2 5 10 12 13 14 15 16 18 19 21 24 27 28 31 34 37 39 41 42 44 45 48 49 51 1 3 4 7 8 10 11 14 17 18 21 24 26 27 28 29 31 32 33 38 39 40 41 45 51 3 4 8 13 14 15 17 18 19 22 23 25 26 27 33 36 37 38 41 42 44 45 46 47 48 2 3 4 11 12 15 16 17 18 19 20 24 26 27 29 30 32 36 39 40 42 43 44 46 49 4 6 7 9 17 19 20 22 27 28 29 31 34 36 37 38 39 40 41 42 44 47 49 50 51 2 3 7 8 9 10 11 12 13 14 17 18 20 21 26 34 35 36 41 42 43 44 47 50 51 1 3 6 7 9 11 12 14 16 20 24 25 26 31 33 36 37 39 41 44 45 46 48 49 50 1 2 6 12 13 16 17 18 19 20 22 24 26 31 32 33 34 35 37 38 40 41 43 45 47 1 2 3 4 6 8 10 14 15 16 17 22 23 24 31 32 34 36 38 43 44 48 49 50 51 4 7 12 13 14 15 16 18 24 25 26 28 29 30 33 34 35 36 38 40 47 48 49 50 51 1 4 5 6 7 10 13 14 17 18 20 21 22 24 29 30 33 34 36 37 39 42 43 46 48 3 6 7 8 9 12 13 15 17 18 19 21 22 25 28 29 31 32 35 36 39 43 45 48 49 1 6 9 13 14 15 21 23 24 25 26 27 29 30 31 32 35 36 37 40 41 42 43 44 51 3 5 7 9 10 11 12 15 16 17 22 23 24 25 27 29 31 33 34 40 41 42 43 47 48 1 7 11 12 13 15 17 19 20 21 22 23 26 27 28 30 31 32 33 34 44 46 48 50 51 1 2 4 6 7 10 12 14 15 19 23 25 26 28 29 32 34 39 41 42 43 45 46 47 50 1 2 3 4 5 6 10 11 13 18 19 21 22 25 26 29 30 31 40 41 44 47 48 49 50 1 3 4 5 8 9 10 12 13 15 19 20 24 27 29 30 31 34 35 36 38 41 45 46 50 1 2 5 7 8 9 11 14 15 18 19 22 24 27 28 30 32 33 36 37 41 43 47 49 50 5 6 8 10 11 13 14 15 16 17 19 20 25 30 31 32 33 36 39 40 42 45 47 50 51 2 3 5 6 7 15 16 18 20 21 23 28 29 30 31 33 36 38 41 43 44 45 46 47 51 2 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 16 19 21 22 23 24 26 28 31 36 38 40 42 46 1 3 4 5 9 12 14 16 17 18 19 21 23 29 31 32 33 35 37 42 46 47 49 50 51 1 2 5 7 8 16 17 21 25 26 27 30 31 32 34 35 36 38 39 41 42 46 47 48 49 5 6 8 11 12 14 18 22 23 26 27 29 30 31 33 34 35 38 39 42 43 44 45 49 50 1 4 8 9 10 12 16 18 20 21 22 23 25 28 30 32 33 34 36 40 41 42 44 45 49 1 2 4 5 6 7 8 9 11 13 15 16 17 18 20 23 25 26 27 29 34 37 45 49 51 6 7 8 10 11 16 18 19 21 23 24 27 29 32 34 35 36 37 40 44 45 46 47 48 50 2 3 5 7 8 13 14 19 20 22 23 24 25 29 32 33 34 35 39 40 41 44 46 49 51 2 4 5 6 8 11 12 15 17 20 21 24 25 28 29 32 33 35 37 38 41 42 44 48 50
- Lösung 2
1 2 3 5 9 11 12 13 14 17 23 28 29 30 32 34 36 37 38 39 40 44 45 47 48 1 2 3 7 8 12 14 16 19 20 21 22 25 27 29 30 37 38 40 42 43 45 48 50 51 1 2 3 6 7 9 10 13 16 17 18 19 23 24 25 27 28 30 33 35 38 39 42 44 50 4 5 7 8 9 10 12 18 19 20 23 24 25 26 30 31 32 37 38 39 43 44 47 48 51 1 4 5 7 9 11 13 15 16 18 22 32 35 38 39 40 41 42 43 44 45 46 48 50 51 3 6 8 9 10 11 13 16 19 26 28 29 30 32 33 34 37 38 41 42 43 46 48 49 51 2 3 4 5 7 10 13 20 23 26 27 28 31 32 33 35 36 37 40 42 43 45 48 49 50 2 4 6 8 9 12 13 17 21 23 24 27 30 33 39 40 41 43 45 46 47 48 49 50 51 1 3 4 5 6 8 9 14 15 16 19 20 21 26 27 28 33 34 35 39 40 43 44 47 48 3 4 6 7 10 11 12 13 14 15 16 20 21 22 23 27 30 32 35 37 38 39 41 47 49 1 5 6 10 11 12 14 17 18 19 20 23 25 27 28 35 36 38 40 41 43 46 48 49 51 1 2 4 8 10 11 12 13 16 22 25 27 28 29 31 33 35 36 37 39 43 44 46 47 51 1 3 5 6 7 8 10 12 15 17 22 24 27 29 31 32 33 34 36 38 39 41 43 48 50 1 2 9 10 11 15 19 20 21 22 23 24 27 28 30 31 32 34 37 40 41 43 44 46 50 5 9 10 13 14 16 17 20 21 22 24 25 30 31 33 34 35 36 37 39 40 41 42 48 51 2 3 5 6 9 10 12 15 18 21 22 25 28 29 30 31 35 41 42 43 44 45 47 48 49 1 3 8 11 13 15 18 20 21 23 24 25 26 27 29 30 32 33 35 36 41 44 45 48 51 3 4 5 11 16 17 19 21 22 23 24 25 27 29 31 32 33 38 40 42 44 46 47 48 49 2 3 4 6 9 11 14 18 20 22 24 25 26 29 33 36 37 38 39 40 41 43 44 49 50 2 4 7 9 10 11 14 15 17 19 21 25 26 27 28 29 32 36 39 41 42 47 48 50 51 2 8 9 10 14 15 16 17 18 20 22 23 27 32 33 34 36 38 42 43 44 45 47 49 51 2 5 10 12 13 14 15 16 18 19 21 24 26 29 30 32 33 35 36 38 40 43 46 47 50 1 3 4 7 8 10 11 14 17 18 21 24 30 34 35 36 37 42 43 44 46 47 48 49 50 3 4 8 13 14 15 17 18 19 22 23 25 28 29 30 31 32 34 35 39 40 43 49 50 51 2 3 4 11 12 15 16 17 18 19 20 24 28 31 33 34 35 37 38 41 45 47 48 50 51 4 6 7 9 13 14 15 16 18 21 23 24 25 27 28 29 31 34 36 37 38 43 45 46 48 2 3 7 8 9 10 11 12 15 16 19 22 23 24 25 26 34 35 36 39 40 45 46 48 49 1 3 6 7 9 11 12 13 15 17 18 19 21 22 23 26 31 33 36 37 40 42 43 47 51 1 2 6 12 14 15 21 23 25 26 31 32 33 34 35 37 38 39 42 44 46 48 49 50 51 1 2 3 4 6 8 10 13 18 19 20 21 25 31 32 34 36 38 39 40 41 42 45 46 47 4 7 12 17 19 20 21 22 23 26 28 29 30 33 34 35 36 38 39 41 42 43 44 45 46 1 4 5 6 7 10 15 16 19 23 25 29 30 33 34 36 37 40 41 44 45 47 49 50 51 3 6 7 8 9 12 14 16 20 23 24 28 29 31 32 35 36 40 41 42 44 46 47 50 51 1 6 9 16 17 18 19 20 22 26 27 29 30 31 32 35 36 37 39 45 46 47 48 49 50 3 5 7 9 10 11 12 13 14 18 19 20 21 27 29 31 33 34 39 44 45 46 49 50 51 1 7 11 12 14 16 18 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 39 40 41 42 43 45 47 49 1 2 4 6 7 10 12 13 16 17 18 20 21 22 24 26 28 29 32 34 40 44 48 49 51 1 2 3 4 5 6 10 11 14 15 16 17 20 23 24 26 29 30 31 39 42 43 45 46 51 1 3 4 5 8 9 10 12 14 16 17 18 21 22 23 25 26 28 32 33 37 41 45 46 50 1 2 5 7 8 9 11 13 16 17 20 21 23 25 26 29 31 34 35 38 41 43 47 49 50 5 6 8 10 11 18 21 22 23 24 26 27 28 29 34 35 37 38 39 40 42 45 47 50 51 2 3 5 6 7 13 14 17 19 22 24 25 26 27 32 34 35 37 41 43 44 45 46 47 51 2 4 5 6 7 8 9 11 12 15 17 18 20 25 27 29 30 32 33 34 35 37 40 42 46 1 3 4 5 9 12 13 15 20 22 24 25 26 27 28 30 34 36 38 42 46 47 49 50 51 1 2 5 7 8 13 14 15 18 19 20 22 23 24 28 29 33 37 39 41 42 46 47 48 49 5 6 8 11 12 13 15 16 17 19 20 21 24 25 28 32 36 37 39 42 43 44 45 49 50 1 4 8 9 10 12 13 14 15 17 19 24 26 27 29 31 35 37 38 40 41 42 44 45 49 1 2 4 5 6 7 8 9 11 14 19 21 22 24 28 30 31 32 33 35 36 38 45 49 51 6 7 8 10 11 13 14 15 17 20 22 25 26 28 30 31 33 38 40 44 45 46 47 48 50 2 3 5 7 8 15 16 17 18 21 26 27 28 30 31 36 37 38 39 40 41 44 46 49 51 2 4 5 6 8 11 12 13 14 16 18 19 22 23 26 27 30 31 34 36 41 42 44 48 50
Inzidenzmatrix
Dies ist eine Darstellung der Inzidenzmatrix dieses Blockplans; zum Verständnis dieser Matrix siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
O O O . O . . . O . O O O O . . O . . . . . O . . . . O O O . O . O . O O O O O . . . O O . O O . . . O O O . . . O O . . . O . O . O . . O O O O . . O . O . O O . . . . . . O O . O . O O . O . . O . O O O O O . . O O . O O . . O . . O O O O . . . O O O . O O . O . . O . O . . O O . . O . O . . . . . O . . . . O O . O O O O . O . . . . . O O O . . O O O O . . . O O O . . . . O O O . . . O O . . O O . . O O . . O O . O . O . O . O . O O . O . . . O . . . . . . . . . O . . O . . O O O O O O O O O . O . O O . . O . . O . O O O O . O . . O . . O . . . . . . O . O O O . O O O . . O O . . O O O . . O . O O . O . O O O O . O . . O . . O . . . . . . O . . O . . O O O . . O O O . O O O . . O . O O . O . . O O O . . O . O . O . O O . . O O . . . O . . . O . O O . . O . . O . . O . . . . . O O O . O . O O O O O O O O . O O O O . O O . . . . O O O . . O O O . . . . O O O . . . . O O O . . . O O . . O O . . O O . . . . . O O . O O . . O O O O O O O . . . O O O O . . . O . . O . O . . O . O O O . 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- Lösung 2
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Oval
Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier sind sämtliche Ovale maximaler Ordnung dieses Blockplans:
- Lösung 1 (sämtliche Ovale)
13 26 39
- Lösung 2 (sämtliche Ovale)
13 26 39
Literatur
- Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
- Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.
Einzelnachweise
- Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman and Hall/ CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.
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