(49,16,5)-Blockplan
Der (49,16,5)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 49 × 49 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 16 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 5 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 49, k = 16, λ = 5), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.
Eigenschaften
Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 49, k = 16, λ = 5 und damit folgende Eigenschaften:
- Er besteht aus 49 Blöcken und 49 Punkten.
- Jeder Block enthält genau 16 Punkte.
- Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 5 Punkten.
- Jeder Punkt liegt auf genau 16 Blöcken.
- Je 2 Punkte sind durch genau 5 Blöcke verbunden.
Existenz und Charakterisierung
Es existieren mindestens 12146 nichtisomorphe 2-(49,16,5) - Blockpläne[1]. Zwei dieser Lösungen sind:
Liste der Blöcke
Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 5 6 7 8 9 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3 10 11 12 13 14 20 21 22 23 24 30 31 32 33 34 4 15 16 17 18 19 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 1 2 13 14 16 18 21 24 27 28 30 36 41 42 46 48 1 2 10 14 17 19 20 22 28 29 31 37 42 43 47 49 1 2 10 11 15 18 21 23 25 29 32 38 43 44 45 48 1 2 11 12 16 19 22 24 25 26 33 39 40 44 46 49 1 2 12 13 15 17 20 23 26 27 34 35 40 41 45 47 1 3 6 8 18 19 22 23 25 31 34 36 38 41 46 47 1 3 7 9 15 19 23 24 26 30 32 37 39 42 47 48 1 3 5 8 15 16 20 24 27 31 33 35 38 43 48 49 1 3 6 9 16 17 20 21 28 32 34 36 39 44 45 49 1 3 5 7 17 18 21 22 29 30 33 35 37 40 45 46 1 4 8 9 11 13 20 26 29 32 33 36 37 41 43 46 1 4 5 9 12 14 21 25 27 33 34 37 38 42 44 47 1 4 5 6 10 13 22 26 28 30 34 38 39 40 43 48 1 4 6 7 11 14 23 27 29 30 31 35 39 41 44 49 1 4 7 8 10 12 24 25 28 31 32 35 36 40 42 45 2 3 5 7 11 12 15 25 28 30 34 36 37 41 43 49 2 3 6 8 12 13 16 26 29 30 31 37 38 42 44 45 2 3 7 9 13 14 17 25 27 31 32 38 39 40 43 46 2 3 5 8 10 14 18 26 28 32 33 35 39 41 44 47 2 3 6 9 10 11 19 27 29 33 34 35 36 40 42 48 2 4 6 7 10 15 17 20 24 30 33 36 38 44 46 47 2 4 7 8 11 16 18 20 21 31 34 37 39 40 47 48 2 4 8 9 12 17 19 21 22 30 32 35 38 41 48 49 2 4 5 9 13 15 18 22 23 31 33 36 39 42 45 49 2 4 5 6 14 16 19 23 24 32 34 35 37 43 45 46 3 4 5 10 12 16 17 20 23 25 29 39 41 42 46 48 3 4 6 11 13 17 18 21 24 25 26 35 42 43 47 49 3 4 7 12 14 18 19 20 22 26 27 36 43 44 45 48 3 4 8 10 13 15 19 21 23 27 28 37 40 44 46 49 3 4 9 11 14 15 16 22 24 28 29 38 40 41 45 47 5 10 11 17 19 21 24 26 27 31 36 37 38 39 41 45 6 11 12 15 18 20 22 27 28 32 35 37 38 39 42 46 7 12 13 16 19 21 23 28 29 33 35 36 38 39 43 47 8 13 14 15 17 22 24 25 29 34 35 36 37 39 44 48 9 10 14 16 18 20 23 25 26 30 35 36 37 38 40 49 7 9 10 15 16 21 22 26 31 34 35 41 42 43 44 46 5 8 11 16 17 22 23 27 30 32 36 40 42 43 44 47 6 9 12 17 18 23 24 28 31 33 37 40 41 43 44 48 5 7 13 18 19 20 24 29 32 34 38 40 41 42 44 49 6 8 14 15 19 20 21 25 30 33 39 40 41 42 43 45 5 6 12 14 15 21 26 29 31 32 36 40 46 47 48 49 6 7 10 13 16 22 25 27 32 33 37 41 45 47 48 49 7 8 11 14 17 23 26 28 33 34 38 42 45 46 48 49 8 9 10 12 18 24 27 29 30 34 39 43 45 46 47 49 5 9 11 13 19 20 25 28 30 31 35 44 45 46 47 48
- Lösung 2
1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 5 6 7 8 9 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3 10 11 12 13 14 20 21 22 23 24 30 31 32 33 34 4 15 16 17 18 19 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 1 2 12 14 16 17 20 23 28 29 30 35 41 43 45 49 1 2 10 13 17 18 21 24 25 29 31 36 42 44 45 46 1 2 11 14 18 19 20 22 25 26 32 37 40 43 46 47 1 2 10 12 15 19 21 23 26 27 33 38 41 44 47 48 1 2 11 13 15 16 22 24 27 28 34 39 40 42 48 49 1 3 6 7 17 19 23 24 25 30 33 35 39 40 46 48 1 3 7 8 15 18 20 24 26 31 34 35 36 41 47 49 1 3 8 9 16 19 20 21 27 30 32 36 37 42 45 48 1 3 5 9 15 17 21 22 28 31 33 37 38 43 46 49 1 3 5 6 16 18 22 23 29 32 34 38 39 44 45 47 1 4 7 9 11 12 20 25 28 33 34 36 38 40 44 45 1 4 5 8 12 13 21 26 29 30 34 37 39 40 41 46 1 4 6 9 13 14 22 25 27 30 31 35 38 41 42 47 1 4 5 7 10 14 23 26 28 31 32 36 39 42 43 48 1 4 6 8 10 11 24 27 29 32 33 35 37 43 44 49 2 3 6 9 12 13 15 25 26 30 32 36 39 43 44 49 2 3 5 7 13 14 16 26 27 31 33 35 37 40 44 45 2 3 6 8 10 14 17 27 28 32 34 36 38 40 41 46 2 3 7 9 10 11 18 28 29 30 33 37 39 41 42 47 2 3 5 8 11 12 19 25 29 31 34 35 38 42 43 48 2 4 7 8 10 16 19 20 22 30 31 38 39 44 46 49 2 4 8 9 11 15 17 21 23 31 32 35 39 40 45 47 2 4 5 9 12 16 18 22 24 32 33 35 36 41 46 48 2 4 5 6 13 17 19 20 23 33 34 36 37 42 47 49 2 4 6 7 14 15 18 21 24 30 34 37 38 43 45 48 3 4 5 11 14 17 18 20 21 25 27 39 41 44 48 49 3 4 6 10 12 18 19 21 22 26 28 35 40 42 45 49 3 4 7 11 13 15 19 22 23 27 29 36 41 43 45 46 3 4 8 12 14 15 16 23 24 25 28 37 42 44 46 47 3 4 9 10 13 16 17 20 24 26 29 38 40 43 47 48 9 12 14 18 19 23 24 27 29 31 36 37 38 39 40 49 5 10 13 15 19 20 24 25 28 32 35 37 38 39 41 45 6 11 14 15 16 20 21 26 29 33 35 36 38 39 42 46 7 10 12 16 17 21 22 25 27 34 35 36 37 39 43 47 8 11 13 17 18 22 23 26 28 30 35 36 37 38 44 48 8 9 14 17 19 22 24 26 33 34 39 41 42 43 44 45 5 9 10 15 18 20 23 27 30 34 35 40 42 43 44 46 5 6 11 16 19 21 24 28 30 31 36 40 41 43 44 47 6 7 12 15 17 20 22 29 31 32 37 40 41 42 44 48 7 8 13 16 18 21 23 25 32 33 38 40 41 42 43 49 7 9 13 14 19 21 28 29 32 34 35 44 46 47 48 49 5 8 10 14 15 22 25 29 30 33 36 40 45 47 48 49 6 9 10 11 16 23 25 26 31 34 37 41 45 46 48 49 5 7 11 12 17 24 26 27 30 32 38 42 45 46 47 49 6 8 12 13 18 20 27 28 31 33 39 43 45 46 47 48
Inzidenzmatrix
Dies ist eine Darstellung der Inzidenzmatrix dieses Blockplans; zum Verständnis dieser Matrix siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
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- Lösung 2
O . . . O O O O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . O O O O O . . . . . . . . . . O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . . . . . O O O O O . . . . . O O O O O . . . . . O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . . . . . . . . . O O O O O . . . . . O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . O O . . . . . . . . . O . O . O O . . O . . O . . . . O O O . . . . O . . . . . O . O . O . . . O O O . . . . . . . O . . O . . . O O . . O . . O O . . . O . O . . . . O . . . . . O . O O O . . . O O . . . . . . . . O . . O . . . O O O . O . . O O . . . . . O . . . . O . . O . . O . . O O . . O O . . . . . . . O . O . . O . . . O . O . O . . O O . . . . . O . . . . O . . O . . O . . O O . O O . . . . . . . . O . O . O O . . . . . O . O . . O O . . . . . O . . . . O O . O . . . . . O O O . O . . O O . . . . . . . . . O . O . . . O O O . . . . O . . O . O . . . O O . . . . . O . O . O . O . . . O O . . . . . . O . . O . O . . . O . O . . . . O . . O O O . . . . O . . . . . O . O O . O . . . . O O . . . . . . O . . O O O . . . . . O . . O . O . . . O O . . . . O . . O . . O . O . O . O . . . O . . . . . O . O . . . O O . . . . . O . . O . O . . . O O . . . . O . . O . . O O . O . O O . . . . . . . . . O . O . . . O O . . . . . O . . O . O . . . O O . . . . O O . O . . O . . O . . O . O . O O . . . . . . . O . . . . O . . O . . . . O O . O . O . O . . . O O . . . . O . . O O . . O . . . O O . . . . . . . O . . . . O . . O O . . . O . . O . O O O . . . . O . . . O . . O . O . . O . . . O O . . . . . . . O . . O . O . . O O . . . O . . O . . O O . . . . O . . O . . O O . O . . O . . . O . . . . . . . . O . . O . O . . O O . . . O . . O . . O O . . . . O . O . . O . O . O . O O . . . . . . . . . . . . O . . O . O . . O O . O . O . . . . . O O . . . . O . O O . . O . . O . . O O . O . . . . . . . . . O O . . . O . O . . . O . . O . . . O O . . . . O . O O . O . O . . . . . O O . O . . . . . . . . . O O . . . O . O . O . O . . O . . . O O . . . . . O O . . O . O . O . . . O . . O . . . . . . . . . O O . . . O . O . O . O . O O . . . . O . . . . O O . . . O . O O O . . . . . . O . . . . . . . . . O O O . . O . . . O . O . O O . . . . O . . . O O . O . . O . . O O . . . . . . O . . . . . O . . . O . O . . O O . . O . . . O O . . . . O . . O . O . . O O . O . . . . . O . . O O . O . . . . . . . O O . . . . . . O O . . . . O . O . . O . O . O . . . O O . O . . . O . O . . . O . O . . . . . . . O O . . O . . . O O . . . . O . O . . . O . O O . . . O . . O . . . O . O . . . O . O . . . . . . . O O . O O . . . . O . . . . O . O . . O . O O O . . . . . . O . . . O . O O . . O . . . . . . . . . O O . O O . . . . O . . . . O . O . O . O . O O . . . . . . O O . . O . . O . . O . . . . . O . . . O . . O O . . . . O . O . . O . . . O O O . . . . . O . . O . . O O . O O . . . O . O . . . . . . . . . . . O . O . . O . . . O O . . O O . O . . . O . O . . . . . O O . O O . . . O . O . . . . . . O . . . . O . O . . O . . . O . . O O . . O . . . O . O . O . . . O . . O O . . . O . O . . . . . . O . . . . O . O . O O . . . . . O O . . . O . . . O . O O O . . . . . . O O O . . O . . . . . . . . O . . . . O . O . O O . . . . O O . . . . O O . . O . . O O . . O . . . O . O . . O . . . . . . . . O . O . . O . . . O O . . . . . . . . . O . . O . O . . . O O . . . O O . . O . O . O . . . . O O O O O . . . . . . . . O . . . . O . . . . O . . O . O . . . O O . . . O O . . O . . . O . . O . O O O . O . . . O . . . . . . . . . O . . . . O . . O O O . . . O O . . . . O . . O . . . O . O O . O O . . O . . . O . . . . . . . . . O . . O . O . . . O O . . . O O . . O . O . . . . . . O O O O . O . . . O . . . O . . . . . . . . . O . . O . O . . . O O . . . O O . . O . O . O . . . . O O O O . . . . . O . . . O . . . . . . . . O O . . . . O . . O . O . . O . O . O . . . . . . O O . . . . O . O O O O O . . . . . . . . O . . . O O . . . . O . . O . O . . O . . . O . . O . . . O O . . . . O . O O O . O . . . . . . . O O . . . . O . . . . O . . O . O . . O . . . O . O O . . . . O . . . O O . O O . . O . . . . . . . O O . . . . O . . O . O . . O . O . . . . . . O . O O . . . . O . . O O O . O . . . O . . . . . . . O O . . . . O . . O . O . . O . O . O . . . . . . O O . . . . O . O O O O . . . . . O . . . . . . O . O . . . O O . . . . O . O . . . . . . O O . . O . O O . . . . . . . . O . O O O O . . . . O . . O . O . . . O O . . . . . . O . . O . . . O O . . O . . O . . . O . . . . O . O O O . . . . . O . . O O O . . . . O . . . . . . O . O O . . . . O . . O . . O . . . O . . . O O . O O . . . . O . O . . . O O . . . . O . . . . . . O . O O . . O . O . . . . . O . . . O . . O O O . O . . . . . O . O . . . O O . . . . O . O . . . . . . O O . . O . O . . . . . O . . . O . O O O O .
Oval
Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier sind sämtliche Ovale maximaler Ordnung dieses Blockplans:
- Lösung 1 (sämtliche Ovale)
1 2 3 4
- Lösung 2 (sämtliche Ovale)
1 2 3 4
Literatur
- Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
- Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.
Einzelnachweise
- Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman and Hall/ CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.
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