(133,12,1)-Blockplan
Der (133,12,1)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 133×133-Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 12 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau eine Eins in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 133, k = 12, λ = 1), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.
Bezeichnung
Dieser symmetrische 2-(133,12,1)-Blockplan wird Projektive Ebene oder Desarguessche Ebene der Ordnung 11 genannt.
Eigenschaften
Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 133, k = 12, λ = 1 und damit folgende Eigenschaften:
- Er besteht aus 133 Blöcken und 133 Punkten.
- Jeder Block enthält genau 12 Punkte.
- Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 1 Punkt.
- Jeder Punkt liegt auf genau 12 Blöcken.
- Je 2 Punkte sind durch genau 1 Block verbunden.
Existenz und Charakterisierung
Es existiert (bis auf Isomorphie) mindestens ein 2-(133,12,1)-Blockplan[1]. Diese Lösung ist:
- Lösung 1 (selbstdual) mit der Signatur 133·1980
Liste der Blöcke
Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 1 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 1 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 1 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 1 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 1 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 1 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 1 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 1 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 1 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 2 13 24 35 46 57 68 79 90 101 112 123 2 14 25 36 47 58 69 80 91 102 113 124 2 15 26 37 48 59 70 81 92 103 114 125 2 16 27 38 49 60 71 82 93 104 115 126 2 17 28 39 50 61 72 83 94 105 116 127 2 18 29 40 51 62 73 84 95 106 117 128 2 19 30 41 52 63 74 85 96 107 118 129 2 20 31 42 53 64 75 86 97 108 119 130 2 21 32 43 54 65 76 87 98 109 120 131 2 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 2 23 34 45 56 67 78 89 100 111 122 133 3 13 25 37 49 61 73 85 97 109 121 133 3 14 26 44 51 64 78 79 96 105 115 131 3 15 33 38 56 63 76 80 90 108 117 127 3 16 29 45 50 58 75 88 92 101 120 129 3 17 31 41 47 62 70 87 100 104 112 132 3 18 34 43 53 59 74 82 99 102 116 123 3 19 24 36 55 65 71 86 94 111 114 128 3 20 30 35 48 67 77 83 98 106 113 126 3 21 28 42 46 60 69 89 95 110 118 125 3 22 27 40 54 57 72 81 91 107 122 130 3 23 32 39 52 66 68 84 93 103 119 124 4 13 26 38 50 62 74 86 98 110 122 124 4 14 33 40 53 67 68 85 94 104 120 125 4 15 27 45 52 65 69 79 97 106 116 132 4 16 34 39 47 64 77 81 90 109 118 128 4 17 30 36 51 59 76 89 93 101 121 130 4 18 32 42 48 63 71 88 91 105 112 133 4 19 25 44 54 60 75 83 100 103 117 123 4 20 24 37 56 66 72 87 95 102 115 129 4 21 31 35 49 58 78 84 99 107 114 127 4 22 29 43 46 61 70 80 96 111 119 126 4 23 28 41 55 57 73 82 92 108 113 131 5 13 27 39 51 63 75 87 99 111 113 125 5 14 29 42 56 57 74 83 93 109 114 132 5 15 34 41 54 58 68 86 95 105 121 126 5 16 28 36 53 66 70 79 98 107 117 133 5 17 25 40 48 65 78 82 90 110 119 129 5 18 31 37 52 60 77 80 94 101 122 131 5 19 33 43 49 64 72 89 92 106 112 124 5 20 26 45 55 61 76 84 91 104 118 123 5 21 24 38 47 67 73 88 96 103 116 130 5 22 32 35 50 59 69 85 100 108 115 128 5 23 30 44 46 62 71 81 97 102 120 127 6 13 28 40 52 64 76 88 100 102 114 126 6 14 31 45 46 63 72 82 98 103 121 128 6 15 30 43 47 57 75 84 94 110 115 133 6 16 25 42 55 59 68 87 96 106 122 127 6 17 29 37 54 67 71 79 99 108 118 124 6 18 26 41 49 66 69 83 90 111 120 130 6 19 32 38 53 61 78 81 95 101 113 132 6 20 34 44 50 65 73 80 93 107 112 125 6 21 27 36 56 62 77 85 92 105 119 123 6 22 24 39 48 58 74 89 97 104 117 131 6 23 33 35 51 60 70 86 91 109 116 129 7 13 29 41 53 65 77 89 91 103 115 127 7 14 34 35 52 61 71 87 92 110 117 130 7 15 32 36 46 64 73 83 99 104 122 129 7 16 31 44 48 57 76 85 95 111 116 124 7 17 26 43 56 60 68 88 97 107 113 128 7 18 30 38 55 58 72 79 100 109 119 125 7 19 27 42 50 67 70 84 90 102 121 131 7 20 33 39 54 62 69 82 96 101 114 133 7 21 25 45 51 66 74 81 94 108 112 126 7 22 28 37 47 63 78 86 93 106 120 123 7 23 24 40 49 59 75 80 98 105 118 132 8 13 30 42 54 66 78 80 92 104 116 128 8 14 24 41 50 60 76 81 99 106 119 133 8 15 25 35 53 62 72 88 93 111 118 131 8 16 33 37 46 65 74 84 100 105 113 130 8 17 32 45 49 57 77 86 96 102 117 125 8 18 27 44 47 61 68 89 98 108 114 129 8 19 31 39 56 59 73 79 91 110 120 126 8 20 28 43 51 58 71 85 90 103 122 132 8 21 34 40 55 63 70 83 97 101 115 124 8 22 26 36 52 67 75 82 95 109 112 127 8 23 29 38 48 64 69 87 94 107 121 123 9 13 31 43 55 67 69 81 93 105 117 129 9 14 30 39 49 65 70 88 95 108 122 123 9 15 24 42 51 61 77 82 100 107 120 124 9 16 26 35 54 63 73 89 94 102 119 132 9 17 34 38 46 66 75 85 91 106 114 131 9 18 33 36 50 57 78 87 97 103 118 126 9 19 28 45 48 62 68 80 99 109 115 130 9 20 32 40 47 60 74 79 92 111 121 127 9 21 29 44 52 59 72 86 90 104 113 133 9 22 25 41 56 64 71 84 98 101 116 125 9 23 27 37 53 58 76 83 96 110 112 128 10 13 32 44 56 58 70 82 94 106 118 130 10 14 28 38 54 59 77 84 97 111 112 129 10 15 31 40 50 66 71 89 96 109 113 123 10 16 24 43 52 62 78 83 91 108 121 125 10 17 27 35 55 64 74 80 95 103 120 133 10 18 25 39 46 67 76 86 92 107 115 132 10 19 34 37 51 57 69 88 98 104 119 127 10 20 29 36 49 63 68 81 100 110 116 131 10 21 33 41 48 61 75 79 93 102 122 128 10 22 30 45 53 60 73 87 90 105 114 124 10 23 26 42 47 65 72 85 99 101 117 126 11 13 33 45 47 59 71 83 95 107 119 131 11 14 27 43 48 66 73 86 100 101 118 127 11 15 29 39 55 60 78 85 98 102 112 130 11 16 32 41 51 67 72 80 97 110 114 123 11 17 24 44 53 63 69 84 92 109 122 126 11 18 28 35 56 65 75 81 96 104 121 124 11 19 26 40 46 58 77 87 93 108 116 133 11 20 25 38 52 57 70 89 99 105 120 128 11 21 30 37 50 64 68 82 91 111 117 132 11 22 34 42 49 62 76 79 94 103 113 129 11 23 31 36 54 61 74 88 90 106 115 125 12 13 34 36 48 60 72 84 96 108 120 132 12 14 32 37 55 62 75 89 90 107 116 126 12 15 28 44 49 67 74 87 91 101 119 128 12 16 30 40 56 61 69 86 99 103 112 131 12 17 33 42 52 58 73 81 98 111 115 123 12 18 24 45 54 64 70 85 93 110 113 127 12 19 29 35 47 66 76 82 97 105 122 125 12 20 27 41 46 59 78 88 94 109 117 124 12 21 26 39 53 57 71 80 100 106 121 129 12 22 31 38 51 65 68 83 92 102 118 133 12 23 25 43 50 63 77 79 95 104 114 130
Zyklische Darstellung
Es existiert eine zyklische Darstellung (Singer-Zyklus) dieses Blockplans, sie ist isomorph zur obigen Liste der Blöcke. Ausgehend von dem dargestellten Block erhält man die restlichen Blöcke des Blockplans durch zyklische Permutation der in ihm enthaltenen Punkte.
- Lösung 1
1 10 11 13 27 31 68 75 83 110 115 121
Orthogonale Lateinische Quadrate (MOLS)
Diese Projektive Ebene der Ordnung 11 ist äquivalent mit diesen 10 MOLS der Ordnung 11:
Oval
Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung dieses Blockplans:
- Lösung 1
1 2 13 25 38 55 63 78 84 94 103 131
Literatur
- Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
- Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.
Einzelnachweise
- Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman and Hall/ CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.