(121,40,13)-Blockplan

Der (121,40,13)-Blockplan ist in der Mathematik ein spezieller symmetrischer Blockplan (eine bestimmte mathematische Struktur). Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 121×121-Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 40 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 13 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 121, k = 40, λ = 13), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.

Eigenschaften

Dieser Blockplan hat die Parameter v = 121, k = 40, λ = 13 und damit folgende Eigenschaften:

Er besteht aus 121 Blöcken und 121 Punkten.
Jeder Block enthält genau 40 Punkte.
Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 13 Punkten.
Jeder Punkt liegt auf genau 40 Blöcken.
Je 2 Punkte sind durch genau 13 Blöcke verbunden.

Existenz und Charakterisierung

Es existieren mindestens 10²⁹ nichtisomorphe 2-(121,40,13)-Blockpläne[1]. Vier dieser Lösungen sind:

Lösung 1 mit der Signatur 121·40/20. Sie enthält 7260 Ovale der Ordnung 2.
Lösung 2 mit der Signatur 121·40/18720. Sie enthält 7260 Ovale der Ordnung 2.
Lösung 3 mit der Signatur 121·40/40. Sie enthält 7260 Ovale der Ordnung 2.
Lösung 4 mit der Signatur 121·20. Sie enthält 7260 Ovale der Ordnung 2.

Liste der Blöcke

Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung

Lösung 1

1 3 4 5 9 12 13 14 15 16 17 22 23 27 32 34 36 39 42 45 46 48 51 64 66 69 71 77 81 82 85 86 88 92 96 102 108 109 110 117
2 4 5 6 10 13 14 15 16 17 18 23 24 28 33 35 37 40 43 46 47 49 52 65 67 70 72 78 82 83 86 87 89 93 97 103 109 110 111 118
3 5 6 7 11 14 15 16 17 18 19 24 25 29 34 36 38 41 44 47 48 50 53 66 68 71 73 79 83 84 87 88 90 94 98 104 110 111 112 119
4 6 7 8 12 15 16 17 18 19 20 25 26 30 35 37 39 42 45 48 49 51 54 67 69 72 74 80 84 85 88 89 91 95 99 105 111 112 113 120
5 7 8 9 13 16 17 18 19 20 21 26 27 31 36 38 40 43 46 49 50 52 55 68 70 73 75 81 85 86 89 90 92 96 100 106 112 113 114 121
1 6 8 9 10 14 17 18 19 20 21 22 27 28 32 37 39 41 44 47 50 51 53 56 69 71 74 76 82 86 87 90 91 93 97 101 107 113 114 115
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5 10 12 13 14 18 21 22 23 24 25 26 31 32 36 41 43 45 48 51 54 55 57 60 73 75 78 80 86 90 91 94 95 97 101 105 111 117 118 119
6 11 13 14 15 19 22 23 24 25 26 27 32 33 37 42 44 46 49 52 55 56 58 61 74 76 79 81 87 91 92 95 96 98 102 106 112 118 119 120
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Zyklische Darstellung

Es existieren zyklische Darstellungen (Singer-Zyklus) dieses Blockplans, sie sind isomorph zur jeweiligen obigen Liste der Blöcke. Ausgehend von dem dargestellten Block erhält man die restlichen Blöcke des Blockplans durch zyklische Permutation der in ihm enthaltenen Punkte.

Lösung 1

  1 3 4 5 9 12 13 14 15 16 17 22 23 27 32 34 36 39 42 45 46 48 51 64 66 69 71 77 81 82 85 86 88 92 96 102 108 109 110 117

Lösung 2

  1 3 4 7 9 11 12 13 21 25 27 33 34 36 39 44 55 63 64 67 68 70 71 75 80 81 82 83 85 89 92 99 102 103 104 108 109 115 117 119

Lösung 3

  1 3 4 7 8 9 12 21 24 25 26 27 34 36 40 43 49 63 64 68 70 71 72 75 78 81 82 83 89 92 94 95 97 102 104 108 112 113 118 120

Lösung 4

  1 3 4 5 7 9 12 14 15 17 21 27 32 36 38 42 45 46 51 53 58 63 67 68 76 79 80 81 82 83 96 100 103 106 107 108 114 115 116 119

Oval

Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung für jede Lösung dieses Blockplans:

Lösung 1

  1   2

Lösung 2

  1   2

Lösung 3

  1   2

Lösung 4

  1   2

Literatur

Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.

Einzelnachweise

Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman and Hall/ CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.

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[1] Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman and Hall/ CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.