(11,5,2)-Blockplan

Der (11,5,2)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 11×11-Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 5 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 2 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 11, k = 5, λ = 2), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.

Bezeichnung

Dieser symmetrische 2-(11,5,2)-Blockplan wird Biplane der Ordnung 3 genannt. Gleichzeitig ist er der Hadamard-Blockplan der Ordnung 3.

Eigenschaften

Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 11, k = 5, λ = 2 und damit folgende Eigenschaften:

Er besteht aus 11 Blöcken und 11 Punkten.
Jeder Block enthält genau 5 Punkte.
Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 2 Punkten.
Jeder Punkt liegt auf genau 5 Blöcken.
Je 2 Punkte sind durch genau 2 Blöcke verbunden.

Existenz und Charakterisierung

Es existiert (bis auf Isomorphie) genau ein 2-(11,5,2)-Blockplan[1][2]. Er ist selbstdual und hat die Signatur 11·40 sowie die λ-chains 66·5. Er enthält 55 Ovale der Ordnung 3.

Liste der Blöcke

Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung

  1   2   3   4   5
  1   2   6   7   8
  1   3   6   9  10
  1   4   7   9  11
  1   5   8  10  11
  2   3   8   9  11
  2   4   6  10  11
  2   5   7   9  10
  3   4   7   8  10
  3   5   6   7  11
  4   5   6   8   9

Inzidenzmatrix

Dies ist eine Darstellung der Inzidenzmatrix dieses Blockplans; zum Verständnis dieser Matrix siehe diese Veranschaulichung

O O O O O . . . . . .
O O . . . O O O . . .
O . O . . O . . O O .
O . . O . . O . O . O
O . . . O . . O . O O
. O O . . . . O O . O
. O . O . O . . . O O
. O . . O . O . O O .
. . O O . . O O . O .
. . O . O O O . . . O
. . . O O O . O O . .

Zyklische Darstellung

Es existiert eine zyklische Darstellung (Singer-Zyklus) dieses Blockplans, sie ist isomorph zur obigen Liste der Blöcke. Ausgehend von dem dargestellten Block erhält man die restlichen Blöcke des Blockplans durch zyklische Permutation der in ihm enthaltenen Punkte.

  1   2   3   5   8

Oval

Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung dieses Blockplans:

  1   2   9

Literatur

Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.

Einzelnachweise

Qazi M. Husain: On the totality of the solutions for the symmetrical incomplete block designs λ = 2, κ = 5 or 6. In: Sankhyā. Bd. 7, Nr. 2, 1945, S. 204–208, (JSTOR 25047845).
Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman and Hall/ CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.

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[1] Qazi M. Husain: On the totality of the solutions for the symmetrical incomplete block designs λ = 2, κ = 5 or 6. In: Sankhyā. Bd. 7, Nr. 2, 1945, S. 204–208, (JSTOR 25047845).

[2] Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman and Hall/ CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.