(105,40,15)-Blockplan

Der (105,40,15)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 105×105-Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 40 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 15 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 105, k = 40, λ = 15), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.

Eigenschaften

Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 105, k = 40, λ = 15 und damit folgende Eigenschaften:

Er besteht aus 105 Blöcken und 105 Punkten.
Jeder Block enthält genau 40 Punkte.
Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 15 Punkten.
Jeder Punkt liegt auf genau 40 Blöcken.
Je 2 Punkte sind durch genau 15 Blöcke verbunden.

Existenz und Charakterisierung

Es existieren mindestens vier nichtisomorphe 2-(105,40,15)-Blockpläne[1][2]. Diese Lösungen sind:

Lösung 1 (dual zur Lösung 2) mit der Signatur 50·1, 50·2/1, 5·10. Sie enthält 5460 Ovale der Ordnung 2.
Lösung 2 (dual zur Lösung 1) mit der Signatur 50·1, 50·2/3, 5·10. Sie enthält 5460 Ovale der Ordnung 2.
Lösung 3 (dual zur Lösung 4) mit der Signatur 100·2, 5·20. Sie enthält 5460 Ovale der Ordnung 2.
Lösung 4 (dual zur Lösung 3) mit der Signatur 50·3, 5·10, 50·24. Sie enthält 5460 Ovale der Ordnung 2.

Liste der Blöcke

Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung

Lösung 1

 1  7 11 14 18 20 23 25 26 29 31 32 35 38 44 45 49 50 53 59 61 62 65 66 67 68 71 72 73 76 77 80 82 85 87  89  90 102 104 105
 1  8 12 15 16 19 21 24 27 30 31 32 33 39 41 45 46 50 54 60 61 62 63 67 68 69 72 73 74 76 77 78 81 83 86  88  90 101 103 105
 1  9 11 13 17 20 22 25 26 28 32 33 34 40 41 42 46 47 55 56 62 63 64 68 69 70 73 74 75 77 78 79 82 84 86  87  89 101 102 104
 1 10 12 14 16 18 21 23 27 29 33 34 35 36 42 43 47 48 51 57 63 64 65 66 69 70 71 74 75 78 79 80 83 85 87  88  90 102 103 105
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Lösung 3

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Lösung 4

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Oval

Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung für jede Lösung dieses Blockplans:

Lösung 1

  1   2

Lösung 2

  1   2

Lösung 3

  1   2

Lösung 4

  1   2

Literatur

Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.

Einzelnachweise

Zvonimir Janko: The existence of symmetric designs with parameters (105,40,15). In: Journal of Combinatorial Designs. Bd. 7, Nr. 1, 1999, S. 17–19, doi:10.1002/(SICI)1520-6610(1999)7:1<17::AID-JCD3>3.0.CO;2-K.
Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman and Hall/ CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.

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[1] Zvonimir Janko: The existence of symmetric designs with parameters (105,40,15). In: Journal of Combinatorial Designs. Bd. 7, Nr. 1, 1999, S. 17–19, doi:10.1002/(SICI)1520-6610(1999)7:1<17::AID-JCD3>3.0.CO;2-K.

[2] Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman and Hall/ CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.