σ-endliche Von-Neumann-Algebra

σ-endliche Von-Neumann-Algebren s​ind im mathematischen Teilgebiet d​er Funktionalanalysis untersuchte Von-Neumann-Algebren m​it einer zusätzlichen Abzählbarkeitseigenschaft. Die Bezeichnung σ-endlich i​st maßtheoretisch motiviert, manche Autoren sprechen a​uch von abzählbar zerlegbaren Von-Neumann-Algebren.[1] Diese Von-Neumann-Algebren spielen e​ine wichtige Rolle i​n der Tomita-Takesaki-Theorie.

Definitionen

Eine Von-Neumann-Algebra ${\displaystyle A}$ heißt σ-endlich, falls jede Familie ${\displaystyle (e_{i})_{i\in I}}$ paarweise orthogonaler Projektionen ${\displaystyle e_{i}\in A}$ höchstens abzählbar viele von 0 verschiedene Elemente enthält.[2] Dabei sind Projektionen Elemente ${\displaystyle e\in A}$ mit ${\displaystyle e=e^{*}=e^{2}}$ und zwei solche Projektionen ${\displaystyle e_{1},e_{2}\in A}$ heißen orthogonal, falls ihr Produkt 0 ist.

Allgemeiner nennt man eine Projektion ${\displaystyle e\in A}$ σ-endlich, wenn jede Familie ${\displaystyle (e_{i})_{i\in I}}$ paarweise orthogonaler Projektionen ${\displaystyle e_{i}\in A}$ mit ${\displaystyle e_{i}\leq e}$ höchstens abzählbar viele von 0 verschiedene Elemente enthält. Dabei steht ${\displaystyle e_{i}\leq e}$ für ${\displaystyle e_{i}e=e_{i}}$ . Demnach ist eine Von-Neumann-Algebra genau dann σ-endlich, wenn ihr Einselement als Projektion σ-endlich ist.

Beispiele

• Eine Projektion ${\displaystyle e\in A}$ einer Von-Neumann-Algebra über einem Hilbertraum ${\displaystyle H}$ heißt zyklisch, falls es ein ${\displaystyle \xi \in H}$ gibt, so dass ${\displaystyle e}$ die Orthogonalprojektion auf den von ${\displaystyle \{a'\xi ;\xi \in A'\}}$ erzeugten abgeschlossenen Unterraum ist, wobei ${\displaystyle A'}$ die Kommutante von ${\displaystyle A}$ bezeichnet. Zyklische Projektionen sind σ-endlich.[3]
• Jede Projektion eines separablen Hilbertraums ist σ-endlich. Insbesondere ist jede Von-Neumann-Algebra über einem separablen Hilbertraum σ-endlich.
• Der Begriff der σ-Endlichkeit einer Projektion hängt definitionsgemäß von einer Von-Neumann-Algebra ab. Ist z. B. ${\displaystyle H}$ ein nicht-separabler Hilbertraum, etwa der Folgenraum ${\displaystyle H=\ell ^{2}(\mathbb {R} )}$ , so ist das Einselement ${\displaystyle 1=\mathrm {id} _{H}}$ nicht σ-endlich bzgl. der vollen Operatorenalgebra ${\displaystyle A=L(H)}$ , wohl aber bzgl. der Von-Neumann-Algebra ${\displaystyle A=\mathbb {C} \cdot \mathrm {id} _{H}}$ . Daher muss man im Zweifelsfall die betrachtete Von-Neumann-Algebra angeben.

Charakterisierung

Für die folgende Charakterisierung σ-endlicher Von-Neumann-Algebren benötigen wir den Begriff des erzeugenden und trennenden Vektors. Ist ${\displaystyle A}$ eine Von-Neumann-Algebra über einem Hilbertraum ${\displaystyle H}$ , so heißt eine Teilmenge ${\displaystyle X\subset H}$ erzeugend, falls ${\displaystyle H}$ als abgeschlossener Unterraum von ${\displaystyle \{a'\xi ;\,a'\in A',\xi \in X\}}$ erzeugt wird. Ein einzelner Vektor ${\displaystyle \xi \in H}$ heißt erzeugend, falls die einelementige Menge ${\displaystyle \{\xi \}}$ erzeugend ist. Eine Teilmenge ${\displaystyle X\subset H}$ trennend, falls aus ${\displaystyle a\in A}$ und ${\displaystyle a\xi =0}$ für alle ${\displaystyle \xi \in X}$ bereits ${\displaystyle a=0}$ folgt. Ein einzelner Vektor ${\displaystyle \xi \in H}$ heißt trennend, falls die einelementige Menge ${\displaystyle \{\xi \}}$ trennend ist. Man beachte, dass diese Begriffe immer relativ zu einer Von-Neumann-Algebra zu verstehen sind. Mit ihnen können σ-endliche Von-Neumann-Algebren wie folgt charakterisiert werden[4]:

Für eine Von-Neumann-Algebra ${\displaystyle A}$ über einem Hilbertraum ${\displaystyle H}$ sind folgende Aussagen äquivalent:

• ${\displaystyle A}$ ist σ-endlich.
• ${\displaystyle H}$ enthält eine abzählbare Teilmenge, die trennend für ${\displaystyle A}$ ist.
• Es gibt einen treuen, normalen Zustand auf ${\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {C} }$ , das heißt ${\displaystyle f}$ ist ultraschwach stetig, ${\displaystyle f(1)=1}$ , ${\displaystyle f(a^{*}a)\geq 0}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$ und ${\displaystyle f(a^{*}a)=0}$ ist nur für ${\displaystyle a=0}$ möglich.
• ${\displaystyle A}$ ist isomorph zu einer Von-Neumann-Algebra ${\displaystyle \pi (A)}$ , über einem möglicherweise anderen Hilbertraum ${\displaystyle H_{\pi }}$ , so dass es einen Vektor ${\displaystyle \xi \in H_{\pi }}$ gibt, der für ${\displaystyle \pi (A)}$ sowohl trennend als auch erzeugend ist.

Die Existenz des Vektors ${\displaystyle \xi \in H_{\pi }}$ in der letzten Bedingung ist der Ausgangspunkt der Tomita-Takesaki-Theorie.

Einzelnachweise

1. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras I,Academic Press (1983), ISBN 0-12-393301-3, Definition 5.5.14
2. Ola Bratteli, Derek W. Robinson: Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1, Springer-Verlag (1979), ISBN 0-387-09187-4, Definition 2.5.1
3. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Band I, 1983, ISBN 0-12-393301-3, Satz 5.5.15
4. Ola Bratteli, Derek W. Robinson: Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1, Springer-Verlag (1979), ISBN 0-387-09187-4, Theorem 2.4.24